九州大学 2006年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

行列

A = (156610)

について，以下の問いに答えよ．

(1) 方程式

{15 x + 6 y = λ x 6 x + 10 y = λ y

が $x = y = 0$ 以外の解をもつときの $λ$ の値を2つ求めよ．

(2) (1)で求めた $λ$ の2つの値を $α$ ， $β$ $(α > β)$ とするとき，

A T = T (α 0 0 β)

を満たし，逆行列をもつ行列 $T$ を1つ求め，その逆行列 $T^{- 1}$ を求めよ．

(3) $A^{n}$ を求めよ．

(4) $(x y)$ を $(00)$ でない列ベクトルとし，

(x_{1} y_{1}) = (x y), (x_{n + 1} y_{n + 1}) = A (x_{n} y_{n}) (n = 1, 2, \dots)

とする．このとき，

n \to \infty lim \frac{y _{n}}{x _{n}}

を求めよ．ただし， $x_{n} \neq = 0$ $(n = 1, 2, \dots)$ と仮定する．

出典：九州大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

(1)は零でない解を持つための消去条件から $λ$ を求める。(2)ではそれぞれの $λ$ に対応する列ベクトルを1つずつ選び，それを並べて $T$ を作る。(3)は $A T = T D$ から $A^{n} = T D^{n} T^{- 1}$ として計算する。(4)は初期ベクトルを2つの方向に分け，成長の速い $1 9^{n - 1}$ の成分があるかどうかで極限を場合分けする。

解答

(1)

連立方程式は

{(15 - λ) x + 6 y = 0, 6 x + (10 - λ) y = 0

である。 $(x, y) = (0, 0)$ 以外の解を持つためには，2式の係数が作る行列について $(15 - λ) (10 - λ) - 36 = 0$ であればよい。整理すると $λ^{2} - 25 λ + 114 = 0$ であり， $(λ - 19) (λ - 6) = 0$ である。よって $λ = 19, 6$ である。

(2)

$19$ に対応する列を求める。 $λ = 19$ のとき $- 4 x + 6 y = 0$ より，例えば

(32)

を取れる。 $λ = 6$ のとき $9 x + 6 y = 0$ より，例えば

(- 2 3)

を取れる。したがって

T = (32 - 2 3)

とおけば

A T = T (19006)

である。また $T$ の行列式は $3 \cdot 3 - (- 2) \cdot 2 = 13$ だから逆行列をもち，

T^{- 1} = \frac{1}{13} (3 - 2 23)

である。

(3)

(2)より

A = T (19006) T^{- 1}

であるから

A^{n} = T (1 9^{n} 0 0 6^{n}) T^{- 1}

である。計算すると

A^{n} = \frac{1}{13} (9 \cdot 1 9^{n} + 4 \cdot 6^{n} 6 \cdot 1 9^{n} - 6 \cdot 6^{n} 6 \cdot 1 9^{n} - 6 \cdot 6^{n} 4 \cdot 1 9^{n} + 9 \cdot 6^{n})

である。

(4)

任意の列ベクトルは

(x y) = u (32) + v (- 2 3)

と一意に表せる。実際，

(u v) = T^{- 1} (x y) = \frac{1}{13} (3 x + 2 y - 2 x + 3 y)

である。

このとき

(x_{n} y_{n}) = u 1 9^{n - 1} (32) + v 6^{n - 1} (- 2 3)

である。 $u \neq = 0$ の場合，分子分母を $1 9^{n - 1}$ で割ると

\frac{y _{n}}{x _{n}} = \frac{2 u + 3 v ( \frac{6}{19} ) ^{n - 1}}{3 u - 2 v ( \frac{6}{19} ) ^{n - 1}} \to \frac{2 u}{3 u} = \frac{2}{3}

である。 $u = 0$ の場合，初期ベクトルは $(- 2, 3)$ の方向であり，すべての $n$ で

(x_{n} y_{n}) = v 6^{n - 1} (- 2 3)

となる。したがって $\frac{y _{n}}{x _{n}} = - \frac{3}{2}$ である。 $u = 0$ は $3 x + 2 y = 0$ と同値であるから，求める極限は

⎩ ⎨ ⎧ \frac{2}{3} - \frac{3}{2} (3 x + 2 y \neq = 0), (3 x + 2 y = 0)

である。問題文の仮定 $x_{n} \neq = 0$ は，この場合分けのどちらにも矛盾しない。

九州大学 2006年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2006年度
後期・理系数学後期第5問