九州大学 2006年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{2 a _{n}}{5 a _{n} + c} (n = 1, 2, \dots)

と定める．ただし， $c$ は $0 ≦ c < 2$ を満たす定数とする．

(1) $b_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおくとき，

b_{n + 1} - p b_{n} = q (n = 1, 2, \dots)

となる定数 $p$ ， $q$ を $c$ の式で表せ．

(2) $a_{n}$ を $n$ と $c$ の式で表せ．

(3) $n \to \infty lim a_{n}$ を $c$ の式で表せ．

出典：九州大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

逆数 $b_{n} = 1/ a_{n}$ を取ると，分母にあった $a_{n}$ が消えて一次漸化式になる。 $b_{n + 1} = (c /2) b_{n} + 5/2$ を解き，その逆数として $a_{n}$ を求める。 $0 ≦ c < 2$ なので $0 ≦ c /2 < 1$ であり，極限では $(c /2)^{n - 1} \to 0$ を使う。 $c = 0$ も同じ式で扱えることを確認する。

解答

(1)

$b_{n} = 1/ a_{n}$ とおくと

b_{n + 1} = \frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{5 a _{n} + c}{2 a _{n}} = \frac{c}{2} \cdot \frac{1}{a _{n}} + \frac{5}{2} = \frac{c}{2} b_{n} + \frac{5}{2}

である。したがって $p = \frac{c}{2}, q = \frac{5}{2}$ である。

(2)

$b_{1} = 1$ であり， $b_{n + 1} = \frac{c}{2} b_{n} + \frac{5}{2}$ である。 $0 ≦ c < 2$ より $c /2 \neq = 1$ なので，定数解 $B$ を $B = \frac{c}{2} B + \frac{5}{2}$ で求めると $B = \frac{5}{2 - c}$ である。したがって $b_{n + 1} - B = \frac{c}{2} (b_{n} - B)$ より $b_{n} - B = (\frac{c}{2})^{n - 1} (b_{1} - B)$ である。ここで $b_{1} - B = 1 - \frac{5}{2 - c} = - \frac{3 + c}{2 - c}$ だから

b_{n} = \frac{5}{2 - c} - \frac{3 + c}{2 - c} (\frac{c}{2})^{n - 1} = \frac{5 - ( 3 + c ) ( \frac{c}{2} ) ^{n - 1}}{2 - c}

である。よって $a_{n} = \frac{2 - c}{5 - ( 3 + c ) ( \frac{c}{2} ) ^{n - 1}}$ である。

(3)

$0 ≦ c < 2$ より $0 ≦ \frac{c}{2} < 1$ であるから $(\frac{c}{2})^{n - 1} \to 0$ である。したがって(2)の式より $n \to \infty lim a_{n} = \frac{2 - c}{5}$ である。

九州大学 2006年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2006年度
後期・理系数学後期第3問