九州大学 2006年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

平面上に異なる $n$ 個の点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $\dots$ ， $(x_{n}, y_{n})$ を考える．ただし， $x_{k} > 0$ $(k = 1, 2, \dots, n)$ とする．また，次の関数 $f (a)$ の最小値を与える $a$ を $a_{0}$ とする．

f (a) = k = 1 \sum n (a x_{k} - y_{k})^{2}

(1) $a_{0}$ を求めよ．

(2) $n$ 個の点のいずれも，直線 $y = a_{0} x$ 上にはないものとする．このとき， $n$ 個の点のうち少なくとも1点は直線 $y = a_{0} x$ の上側にあることを示せ．

(3) $x_{k} = bk$ ， $y_{k} = c$ $(k = 1, 2, \dots, n)$ とする．ここで， $b$ ， $c$ は正の定数である．このとき， $n$ 個の点のうちの1点が直線 $y = a_{0} x$ 上にあるための条件は， $b$ ， $c$ によらない条件であることを示せ．

出典：九州大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

$f (a)$ は $a$ の二次関数なので，微分して最小条件を出す。分母 $\sum x_{k}^{2}$ は正である。(2)は，直線上の点がなく，かつ上側の点もないと仮定すると全点が下側にあるので， $y_{k} < a_{0} x_{k}$ を $x_{k} > 0$ で掛けて和を取り，(1)の式と矛盾させる。(3)は $x_{k} = bk, y_{k} = c$ を代入して $a_{0}$ を計算し，直線上にある条件を整数 $k$ の条件に落とす。

解答

(1)

$f (a) = \sum_{k = 1}^{n} (a x_{k} - y_{k})^{2}$ を $a$ で微分すると $f^{'} (a) = 2 \sum_{k = 1}^{n} x_{k} (a x_{k} - y_{k})$ である。最小値を与える $a_{0}$ では $f^{'} (a_{0}) = 0$ だから $\sum_{k = 1}^{n} x_{k} (a_{0} x_{k} - y_{k}) = 0$ である。したがって $a_{0} \sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} x_{k} y_{k}$ である。 $x_{k} > 0$ なので $\sum x_{k}^{2} > 0$ であり， $a_{0} = \frac{\sum _{k = 1}^{n} x _{k} y _{k}}{\sum _{k = 1}^{n} x _{k}^{2}}$ である。

(2)

どの点も直線 $y = a_{0} x$ 上になく，さらに上側にもないと仮定する。このときすべての $k$ について $y_{k} < a_{0} x_{k}$ である。 $x_{k} > 0$ だから $x_{k} y_{k} < a_{0} x_{k}^{2}$ である。これを $k = 1, 2, \dots, n$ について足すと $\sum_{k = 1}^{n} x_{k} y_{k} < a_{0} \sum_{k = 1}^{n} x_{k}^{2}$ となる。しかし(1)より右辺は $\sum x_{k} y_{k}$ と等しい。これは矛盾である。したがって少なくとも1点は直線 $y = a_{0} x$ の上側にある。

(3)

$x_{k} = bk$ ， $y_{k} = c$ とする。このとき

k = 1 \sum n x_{k} y_{k} = b c k = 1 \sum n k, k = 1 \sum n x_{k}^{2} = b^{2} k = 1 \sum n k^{2}

である。よって

a_{0} = \frac{b c \sum k}{b ^{2} \sum k ^{2}} = \frac{c}{b} \cdot \frac{\frac{n ( n + 1 )}{2}}{\frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}} = \frac{c}{b} \cdot \frac{3}{2 n + 1}

である。

点 $(bk, c)$ が直線 $y = a_{0} x$ 上にある条件は $c = a_{0} bk$ である。上の $a_{0}$ を代入すると $c = \frac{c}{b} \cdot \frac{3}{2 n + 1} \cdot bk = \frac{3 c k}{2 n + 1}$ である。 $c > 0$ より両辺を $c$ で割って $1 = \frac{3 k}{2 n + 1}$ すなわち $k = \frac{2 n + 1}{3}$ である。したがって，ある点が直線上にあるための条件は， $(2 n + 1) /3$ が $1$ から $n$ までの整数であることである。これは $2 n + 1 \equiv 0 (mod 3)$ すなわち $n \equiv 1 (mod 3)$ であり， $b, c$ によらない条件である。

九州大学 2006年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2006年度
後期・理系数学後期第4問