問題
2つの曲線，が異なる2点で接するとする．ただし，，を正の定数とする．
(1) をとの式で表せ．また，曲線との接点の座標をとの式で表せ．ただしとする．
(2) のとき，曲線とによって囲まれた部分の面積を求めよ．
出典：九州大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
接点を とおく。円の中心は なので，接点へ向かう半径と放物線の接線が垂直であることから と の関係を得る。さらに接点が円上にある条件で を決める。(2)では から ，， を出し，円の下側の弧と放物線の差を で積分する。
解答
(1)
右側の接点を とおく。 である。放物線 の接線の傾きは である。一方，円 の中心は であり，中心から接点へ向かう半径の傾きは である。接線と半径は垂直だから であり， すなわち である。
また接点は円上にあるので である。上で得た より だから である。したがって である。さらに より である。異なる2点で接するためには右辺の平方根が正であることも必要で，この条件のもとで接点は に現れる。
(2)
より である。このとき
である。円の下側の弧は であり，放物線は である。 では円弧の値が ，放物線の値が0なので，囲まれた部分では円弧が上，放物線が下である。よって面積 は である。
各項を計算する。まず である。また だから
である。これは半径 の円で，中心角 の扇形から二等辺三角形を合わせた面積としても確認できる。さらに である。したがって
である。よって求める面積は である。