問題
との2つの袋があり，の袋には赤玉が2個，白玉が5個，の袋には赤玉が個，白玉が個入っている．ただし，とは0以上の整数でとする．
(1) の袋から3個の玉を同時に取り出すとき，赤玉が2個，白玉が1個である確率を求めよ．
(2) の袋から3個の玉を取り出し，それらをの袋に入れる．その後の袋から2個の玉を同時に取り出すとき，赤玉が1個，白玉が1個である確率を求めよ．
(3) 確率が最大となるとの値を求めよ．
出典：九州大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
(1)はA袋から赤2個・白1個を選ぶ組合せで直接求める。(2)はA袋からB袋へ移した3個のうち赤玉の個数を として場合分けし，その確率と，移した後のB袋から赤白1個ずつ取り出す条件付き確率を掛けて足す。(3)は より の5通りだけなので，(2)の式へ代入して最大を比較する。
解答
(1)
A袋には赤玉2個，白玉5個が入っている。3個を同時に取り出して赤玉2個，白玉1個である確率は
である。
(2)
A袋から取り出してB袋へ入れた3個のうち，赤玉の個数を とする。 であり，この確率は
である。このときB袋には赤玉が 個，白玉が 個，合計7個入っている。そこから2個同時に取り出して赤玉1個，白玉1個である条件付き確率は である。したがって全確率の和として
である。 を代入して整理すると である。
(3)
で は0以上の整数だから， を調べればよい。上の式から
である。最大は のときで，そのとき である。したがって である。