九州大学 2005年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$t$ と $θ$ を実数， $J = (0 - 1 10)$ ， $E = (1001)$ ， $O = (0000)$ とする．ただし， $0 < θ < π$ とする．

(1) $t (P J + J) + P - E = O$ を満たす行列 $P$ を求めよ．

(2) $t = tan \frac{θ}{2}$ のとき， $θ$ を用いて(1)の $P$ を表せ．

(3) (2)の $P$ に対して， $P^{3} = E$ となる $θ$ を求めよ．

出典：九州大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

(1) は与式を $P (E + t J) = E - t J$ と整理し、 $J^{2} = - E$ を使って $E + t J$ の逆を求める。(2) は $t = tan (θ /2)$ を代入し、半角公式 $(1 - t^{2}) / (1 + t^{2}) = cos θ$ 、 $2 t / (1 + t^{2}) = sin θ$ により $P$ を三角関数で表す。(3) は (2) の行列が角 $θ$ の回転を表すことを、加法定理に対応する積の形で確認し、3回の合成が恒等変換になる角を求める。

解答

(1)

与えられた式 $t (P J + J) + P - E = O$ を整理すると $P + tP J = E - t J$ である。すなわち $P (E + t J) = E - t J$ である。

ここで

J^{2} = (0 - 1 10)^{2} = - E

であるから、 $(E + t J) (E - t J) = E - t^{2} J^{2} = (1 + t^{2}) E$ である。したがって $(E + t J)^{- 1} = \frac{E - t J}{1 + t ^{2}}$ であり、 $P = (E - t J) (E + t J)^{- 1} = \frac{( E - t J ) ^{2}}{1 + t ^{2}}$ となる。さらに $(E - t J)^{2} = E - 2 t J + t^{2} J^{2} = (1 - t^{2}) E - 2 t J$ なので、 $P = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} E - \frac{2 t}{1 + t ^{2}} J$ である。行列で書けば

P = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} \frac{2 t}{1 + t ^{2}} - \frac{2 t}{1 + t ^{2}} \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}

である。

(2)

$t = tan \frac{θ}{2}$ とする。半角公式より $\frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = cos θ, \frac{2 t}{1 + t ^{2}} = sin θ$ である。したがって (1) の結果から $P = cos θ E - sin θ J$ であり、行列表示は

P = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)

である。

(3)

(2) の形の行列を

R (θ) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)

と書く。加法定理を用いて行列の積を計算すると $R (α) R (β) = R (α + β)$ である。したがって $P^{3} = R (θ)^{3} = R (3 θ)$ である。 $P^{3} = E$ となるには $R (3 θ) = E$ であればよい。これは $cos 3 θ = 1, sin 3 θ = 0$ すなわち $3 θ = 2 mπ (m は整数)$ を意味する。条件 $0 < θ < π$ より $0 < 3 θ < 3 π$ であるから、この範囲にある $2 mπ$ は $2 π$ だけである。よって $3 θ = 2 π$ となり、 $θ = \frac{2 π}{3}$ である。

九州大学 2005年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2005年度
後期・理系数学後期第5問