問題
，の2人が同時に1個ずつサイコロを投げて勝負をする．出た目の大きい方を勝ちとしてそちらにのみ1点を加え，出た目が等しい場合には引き分けとしてどちらにも点を加えないものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 4回連続して勝負した結果，との総得点が等しくなる確率を求めよ．
(2) 5回連続して勝負する場合を考える．1回目の勝負でが勝ったという条件のもとで，の方がよりも総得点が高くなる条件つき確率を求めよ．
出典：九州大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
1回の勝負を 勝ち、 勝ち、引き分けの3種類に分類する。それぞれの確率は である。(1) は4回のうち の勝数と の勝数が等しい場合を、多項分布で 勝、 勝ずつ、 勝ずつに分けて足す。(2) は1回目に が勝った後なので、残り4回で の勝数が の勝数より2以上多い場合を数える。
解答
(1)
1回の勝負で が勝つのは、2個のさいころの出方 通りのうち、 の目が の目より大きい場合である。その数は 通りなので、 である。同様に であり、引き分けは の6通りだから である。
4回後に総得点が等しくなるには、 の勝数と の勝数が等しければよい。可能性は、両者0勝、両者1勝、両者2勝の3通りである。したがって
(2)
1回目に が勝ったことを条件としているので、その後の4回だけを考える。残り4回での の勝数を 、 の勝数を 、引き分けの数を とする。このとき であり、最終得点は である。 の方が より高得点となる条件は すなわち である。
条件を満たす は である。よって、残り4回について
ここで最後の は、 の1通り分と の4通り分を合わせたものである。