問題
原点を中心とする半径の球面上に点，，を置き，，，とする．ベクトル，，間の内積に，，，（ただし，）の関係がある場合について，次の問いに答えよ．
(1) 平面上の点について，ベクトルをで表すとき，となることを示せ．
(2) (1)のベクトルの大きさが最小となるような，，を，を用いて示せ．
(3) 点，，，を頂点とする三角錐の体積を，とを用いて示せ．
出典：九州大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
(1) は平面 上の点を を基点に 、 の一次結合で表し、係数和が になることを示す。(2) は のもとで を最小化する。 と に分けると、まず が分かり、その後1変数の2次式になる。(3) は条件を満たす座標を置き、三角錐 を底面 と高さで計算する。
解答
(1)
点 は平面 上にあるので、実数 を用いて と表せる。したがって
である。ここで とおけば であり、 である。よって平面 上の点については が成り立つ。
(2)
内積の条件と より、
である。したがって を のもとで最小化すればよい。 とおくと である。また である。 なので、第2項は のとき最小となる。よって最小点では である。
このとき となる。この2次式を で微分すると であるから、最小となるのは のときである。したがって である。
(3)
座標を となるように取る。 より の 座標は である。また より、 の 座標は である。さらに だから、向きを選べば とおける。
三角形 は直角二等辺三角形であり、その面積は である。点 から平面 、すなわち 平面までの高さは である。したがって三角錐 の体積は である。