九州大学 2005年度
後期・理系数学 後期 第2問
- 試験区分
- 後期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 微分、積分、指数・対数
- 解法
- 増減表、不等式評価、面積計算
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 22分
問題
f(x)=x+21x2−241x3−(1+x)log(1+x) (0≦x≦5)とする．
(1) 0≦x≦5の範囲で，f′(x)≧0となることを示せ．ただし，log2=0.69，log3=1.10，log5=1.61，log7=1.95という近似値を用いてよい．
(2) 0≦x≦5の範囲で二つの曲線
y=x+21x2−241x3,y=(1+x)log(1+x)
によって囲まれた部分の面積を求めよ．
出典：九州大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
(1) は f′(x) を求めたあと、f′′(x) の符号で f′(x) の増減を調べる。f′ は [0,3] で増加し [3,5] で減少するので、最小値は端点で確認すればよい。f′(5)≧0 の確認に与えられた対数の近似値を使う。(2) は (1) により多項式側が常に上、対数側が下と分かるため、面積は ∫05f(x)dx である。(1+x)log(1+x) は u=1+x と置いて部分積分する。
解答
(1)
f(x)=x+21x2−241x3−(1+x)log(1+x) であるから、f′(x)=1+x−81x2−{log(1+x)+1}=x−81x2−log(1+x) である。さらに f′′(x)=1−4x−1+x1=4(1+x)x(3−x) である。 0≦x≦5 では 1+x>0 だから、f′′(x) の符号は x(3−x) の符号で決まる。したがって f′(x) は 0≦x≦3 で増加し、3≦x≦5 で減少する。よって f′(x) の最小値は端点 x=0,5 のどちらかで生じる。
端点の値は f′(0)=0 であり、f′(5)=5−825−log6=815−log6 である。与えられた近似値より log6=log2+log3=0.69+1.10=1.79 であり、815=1.875>1.79 である。したがって f′(5)>0 である。以上より f′(x)≧0(0≦x≦5) が成り立つ。
(2)
(1) より f′(x)≧0 であり、また f(0)=0 である。したがって 0≦x≦5 で f(x)≧0 である。すなわち x+21x2−241x3≧(1+x)log(1+x) なので、求める面積は ∫05f(x)dx である。
多項式部分の積分は
∫05(x+21x2−241x3)dx=225+6125−96625=962575
である。一方、u=1+x とおくと ∫05(1+x)log(1+x)dx=∫16ulogudu である。部分積分により ∫ulogudu=2u2logu−4u2 だから、
∫16ulogudu=[2u2logu−4u2]16=18log6−9+41=18log6−435.
したがって面積は
962575−(18log6−435)=963415−18log6
である。
