九州大学 2005年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

関数 $f (x) = x^{2} + 2 p x + q$ を用いて，数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = 0, a_{n + 1} = - r f^{'} (a_{n}) + a_{n} (n = 1, 2, \dots\dots)

と定める．ただし， $p$ ， $q$ ， $r$ は実数で， $p \neq = 0$ かつ $0 < r < \frac{1}{2}$ とする．

(1) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ．

(2) $n = 1 \sum \infty ∣ a_{n + 1} - a_{n} ∣$ を求めよ．

(3) $m$ を $f (x)$ の最小値とする．任意の $n$ について $∣ f (a_{n + 1}) - m ∣ < ∣ f (a_{n}) - m ∣$ が成り立つことを示せ．

出典：九州大学 2005年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

漸化式に $f^{'} (x) = 2 x + 2 p$ を代入し、固定点 $- p$ からのずれ $a_{n} + p$ を見ると等比数列になる。 $0 < r < 1/2$ より公比 $1 - 2 r$ は $0$ と $1$ の間なので、絶対値和も等比級数として処理できる。(3) は平方完成により $f (x) - m = (x + p)^{2}$ と表し、 $a_{n} + p$ の絶対値が毎回 $1 - 2 r$ 倍されることから厳密な減少を示す。

解答

(1)

$f^{'} (x) = 2 x + 2 p$ である。したがって漸化式は $a_{n + 1} = - r (2 a_{n} + 2 p) + a_{n} = (1 - 2 r) a_{n} - 2 r p$ となる。ここで $λ = 1 - 2 r$ とおくと、 $0 < r < 1/2$ より $0 < λ < 1$ である。また $a_{n + 1} + p = λ a_{n} - 2 r p + p$ であり、 $λ = 1 - 2 r$ だから $- 2 r p + p = (1 - 2 r) p = λ p$ である。よって $a_{n + 1} + p = λ (a_{n} + p)$ となる。 $a_{1} = 0$ より $a_{1} + p = p$ であるから、 $a_{n} + p = p λ^{n - 1}$ である。したがって $a_{n} = p {(1 - 2 r)^{n - 1} - 1}$ である。

(2)

(1) の式から

a_{n + 1} - a_{n} = p {λ^{n} - 1} - p {λ^{n - 1} - 1} = p λ^{n - 1} (λ - 1) = - 2 r p (1 - 2 r)^{n - 1}

である。 $0 < 1 - 2 r < 1$ なので $∣ a_{n + 1} - a_{n} ∣ = 2 r ∣ p ∣ (1 - 2 r)^{n - 1}$ である。よって

n = 1 \sum \infty ∣ a_{n + 1} - a_{n} ∣ = 2 r ∣ p ∣ n = 1 \sum \infty (1 - 2 r)^{n - 1} = 2 r ∣ p ∣ \cdot \frac{1}{1 - ( 1 - 2 r )} = ∣ p ∣.

(3)

平方完成すると $f (x) = x^{2} + 2 p x + q = (x + p)^{2} + q - p^{2}$ である。したがって最小値は $m = q - p^{2}$ であり、 $f (x) - m = (x + p)^{2}$ である。特に $f (x) - m ≧ 0$ なので、絶対値を付けても $∣ f (x) - m ∣ = (x + p)^{2}$ である。

(1) より $a_{n} + p = p (1 - 2 r)^{n - 1}$ であるから、 $∣ f (a_{n}) - m ∣ = (a_{n} + p)^{2} = p^{2} (1 - 2 r)^{2 (n - 1)}$ である。 $p \neq = 0$ かつ $0 < 1 - 2 r < 1$ より、 $p^{2} (1 - 2 r)^{2 n} < p^{2} (1 - 2 r)^{2 (n - 1)}$ である。したがって任意の $n$ について $∣ f (a_{n + 1}) - m ∣ < ∣ f (a_{n}) - m ∣$ が成り立つ。

別解。(2) は数直線上の移動距離としても見られる。 $a_{n} + p = p (1 - 2 r)^{n - 1}$ であり、公比が正で $1$ より小さいので、 $a_{n}$ は初項 $0$ から極限 $- p$ へ向かって同じ向きに近づく。したがって移動距離の総和は、初項から極限までの距離に等しく $∣0 - (- p) ∣ = ∣ p ∣$ である。

九州大学 2005年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2005年度
後期・理系数学後期第3問