九州大学 2004年度理系数学第5問解答・解説

問題

$n$ を3以上の自然数とする．スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く電球が横一列に $n$ 個並んでいる．これらの $n$ 個の電球のスイッチを同時に入れたあと，左から電球の色を見ていき，色の変化の回数を調べる．

(1) 赤青…青，赤赤青…青，……のように左端が赤色で色の変化がちょうど1回起きる確率を求めよ．

(2) 色の変化が少なくとも2回起きる確率を求めよ．

(3) 色の変化がちょうど $m$ 回 $(0 ≦ m ≦ n - 1)$ 起きる確率を求めよ．

(4) 色の変化の回数の期待値を求めよ．

出典：九州大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

文系第4問の一般化であり、 $n$ 個の電球そのものではなく、隣り合う電球の間の $n - 1$ 個の境目を見る。左端の色と、色が変化する境目の集合を決めれば、右へ順に色が一意に決まる。したがって、ちょうど $m$ 回の変化は $n - 1$ 個の境目から $m$ 個を選ぶ数え上げになる。期待値は各境目で色が変わるかを表す指示量の和として処理する。

解答

(1)

左端が赤色で、色の変化がちょうど1回起きるとする。変化する境目は、1番目と2番目の間から $(n - 1)$ 番目と $n$ 番目の間までの $n - 1$ 通りである。

左端を赤に固定し、変化する境目を1つ決めれば、その境目までは赤、その後は青となり、並びは一意に決まる。全体の並びは $2^{n}$ 通りなので、求める確率は $\frac{n - 1}{2 ^{n}}$ である。

(2)

余事象を考える。色の変化が0回の並びは、すべて赤またはすべて青の2通りである。

色の変化が1回の並びは、左端の色が2通り、変化する境目が $n - 1$ 通りなので $2 (n - 1)$ 通りである。したがって、色の変化が0回または1回である並びは $2 + 2 (n - 1) = 2 n$ 通りである。

よって、色の変化が少なくとも2回起きる確率は $1 - \frac{2 n}{2 ^{n}} = 1 - \frac{n}{2 ^{n - 1}}$ である。

(3)

隣り合う電球の境目は $n - 1$ 個ある。このうちちょうど $m$ 個の境目で色が変わるように選ぶ方法は $_{n - 1} C_{m}$ 通りである。さらに左端の色は赤または青の2通りである。

左端の色と変化する境目が決まれば、隣へ進むたびに「変化する境目なら色を変える、変化しない境目なら同じ色にする」として全体の並びが一意に定まる。したがって該当する並びは $2_{n - 1} C_{m}$ 通りである。

全体は $2^{n}$ 通りなので、求める確率は

\frac{2 _{n - 1} C _{m}}{2 ^{n}} = \frac{_{n - 1} C _{m}}{2 ^{n - 1}} (0 ≦ m ≦ n - 1)

である。

(4)

$j = 1, 2, \dots, n - 1$ について、 $j$ 番目と $(j + 1)$ 番目の電球の色が異なるとき $X_{j} = 1$ 、同じとき $X_{j} = 0$ とする。色の変化の回数を $X$ とすれば $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n - 1}$ である。

各境目について、隣り合う2個の色の組は $赤赤, 赤青, 青赤, 青青$ の4通りが等確率であり、そのうち色が変わるのは2通りである。よって $E (X_{j}) = \frac{1}{2}$ である。したがって $E (X) = \sum_{j = 1}^{n - 1} E (X_{j}) = (n - 1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n - 1}{2}$ である。

別解。(3)の分布を使うと $E (X) = \sum_{m = 0}^{n - 1} m \frac{_{n - 1} C _{m}}{2 ^{n - 1}}$ である。 $m_{n - 1} C_{m} = (n - 1)_{n - 2} C_{m - 1}$ より

E (X) = \frac{n - 1}{2 ^{n - 1}} m = 1 \sum n - 1_{n - 2} C_{m - 1} = \frac{n - 1}{2 ^{n - 1}} \cdot 2^{n - 2} = \frac{n - 1}{2}

である。

九州大学 2004年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2004年度
理系数学第5問