九州大学 2004年度理系数学第4問解答・解説

問題

座標空間内の三角柱 $0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1, x ≧ y, 0 ≦ z ≦ 1$ を考え，その $x y$ 平面内の面を $S$ ， $x z$ 平面内の面を $T$ とする．点 $A (a, b, 0)$ を $S$ 内に，点 $B (c, 0, d)$ を $T$ 内にとり，また $C (1, 1, 1)$ とする．ただし，点 $A$ ， $B$ は原点 $O$ とは異なるとする．

(1) ベクトル $O A$ および $O C$ に直交する単位ベクトルを求め，その単位ベクトルとベクトル $O B$ の内積の絶対値を求めよ．

(2) 四面体 $O A B C$ の体積を求めよ．ただし，点 $O, A, B, C$ は同一平面上にないとする．

(3) 点 $A$ が $S$ 内を，点 $B$ が $T$ 内を動くとする．このときの，四面体 $O A B C$ の体積の最大値，および最大値を与える点 $A$ ， $B$ の位置をすべて求めよ．

出典：九州大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

$S$ 上の点 $A$ は $0 ≦ b ≦ a ≦ 1$ 、 $T$ 上の点 $B$ は $0 ≦ c ≦ 1, 0 ≦ d ≦ 1$ を満たす。(1)では $O A$ と $O C$ の両方に垂直なベクトルを外積に相当する成分計算で作る。(2)は $△ O A C$ を底面と見て、(1)で求めた法線方向への $B$ の距離を使うと体積が ${d (a - b) + b c} /6$ になる。(3)はこの一次式を制約条件内で最大化し、 $d (a - b) + b c ≦ (a - b) + b = a ≦ 1$ の等号条件を端点 $b = 0, 1$ も含めて調べる。

解答

(1)

$O A = (a, b, 0), O C = (1, 1, 1)$ である。両方に直交するベクトルを $(X, Y, Z)$ とすると $a X + bY = 0, X + Y + Z = 0$ を満たせばよい。

ここで $(X, Y, Z) = (b, - a, a - b)$ とすれば $ab + b (- a) = 0$ かつ $b - a + a - b = 0$ であるから、確かに $O A$ と $O C$ の両方に直交する。点 $A$ は原点とは異なるので、このベクトルは零ベクトルではない。したがって求める単位ベクトルは $\pm \frac{( b , - a , a - b )}{a ^{2} + b ^{2} + ( a - b ) ^{2}}$ である。

また $O B = (c, 0, d)$ であるから、この単位ベクトルと $O B$ の内積の絶対値は $\frac{∣ b c + d ( a - b ) ∣}{a ^{2} + b ^{2} + ( a - b ) ^{2}}$ である。

(2)

$△ O A C$ の面積を求める。 $O A$ と $O C$ の両方に垂直なベクトル $(b, - a, a - b)$ の長さは $a^{2} + b^{2} + (a - b)^{2}$ である。したがって $[△ O A C] = \frac{1}{2} a^{2} + b^{2} + (a - b)^{2}$ である。

(1)より、点 $B$ から平面 $O A C$ までの距離は $\frac{∣ b c + d ( a - b ) ∣}{a ^{2} + b ^{2} + ( a - b ) ^{2}}$ である。ここで $A \in S$ より $0 ≦ b ≦ a$ であり、 $B \in T$ より $0 ≦ c ≦ 1, 0 ≦ d ≦ 1$ だから $b c + d (a - b) ≧ 0$ である。

よって四面体 $O A B C$ の体積 $V$ は

V = \frac{1}{3} [△ O A C] \cdot 高さ = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^{2} + b^{2} + (a - b)^{2} \cdot \frac{b c + d ( a - b )}{a ^{2} + b ^{2} + ( a - b ) ^{2}} = \frac{b c + d ( a - b )}{6}

である。

(3)

制約条件は $0 ≦ b ≦ a ≦ 1, 0 ≦ c ≦ 1, 0 ≦ d ≦ 1$ である。(2)より体積を最大にするには $L = b c + d (a - b)$ を最大にすればよい。 $c ≦ 1$ , $d ≦ 1$ , $a - b ≧ 0$ , $b ≧ 0$ なので $L = b c + d (a - b) ≦ b + (a - b) = a ≦ 1$ である。したがって体積の最大値は高々 $\frac{1}{6}$ である。

実際に等号を達成する条件を調べる。等号にはまず $a = 1$ が必要である。このとき $L = b c + d (1 - b)$ であり、さらに $b c + d (1 - b) = b + (1 - b) = 1$ となる必要がある。 $0 < b < 1$ のときは、 $b c = b$ かつ $d (1 - b) = 1 - b$ が必要なので $c = 1, d = 1$ である。よって $A = (1, b, 0) (0 < b < 1), B = (1, 0, 1)$ である。 $b = 0$ のときは $L = d$ なので、等号には $d = 1$ が必要であり、 $c$ は任意でよい。よって $A = (1, 0, 0), B = (c, 0, 1) (0 ≦ c ≦ 1)$ である。 $b = 1$ のときは $L = c$ なので、等号には $c = 1$ が必要であり、 $d$ は任意でよい。よって $A = (1, 1, 0), B = (1, 0, d) (0 ≦ d ≦ 1)$ である。

以上より、最大値は $\frac{1}{6}$ であり、最大値を与える点は上に挙げた3種類である。

九州大学 2004年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2004年度
理系数学第4問