九州大学 2004年度理系数学第1問解答・解説

問題

$n = 0, 1, 2, \dots$ に対して $I_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !} \int_{0}^{2} x^{n} e^{x} d x$ とおく．ただし， $0! = 1$ とする．

(1) $I_{0}$ の値を求め， $n = 1, 2, \dots$ のとき $I_{n}$ と $I_{n - 1}$ の関係式を求めよ．また，これらを用いて $I_{3}$ の値を求めよ．

(2) $0 ≦ x ≦ 2$ に対して $e^{x} ≦ e^{2}$ であることを利用して，次の不等式を示せ．

\frac{1}{n !} \int_{0}^{2} x^{n} e^{x} d x ≦ 2 e^{2} (\frac{2}{3})^{n - 1} (n = 1, 2, \dots)

(3) 極限 $n \to \infty lim k = 0 \sum n \frac{( - 1 ) ^{k} 2 ^{k}}{k !}$ を求めよ．

出典：九州大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

まず部分積分で $I_{n}$ と $I_{n - 1}$ の漸化式を作り、そこから $I_{3}$ まで順に計算する。(2)では $e^{x} ≦ e^{2}$ により積分を $\int_{0}^{2} x^{n} d x$ に落とし、残る階乗部分を $(n + 1) n! ≧ 2 \cdot 3^{n - 1}$ で評価する。(3)は漸化式を足し合わせて $I_{n} = e^{2} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} 2^{k} / k! - 1$ を得て、(2)から $∣ I_{n} ∣ \to 0$ を示すことで有限和の極限を決める。

解答

(1)

$I_{0} = \int_{0}^{2} e^{x} d x = e^{2} - 1$ である。 $n ≧ 1$ とする。部分積分により

\int_{0}^{2} x^{n} e^{x} d x = [x^{n} e^{x}]_{0}^{2} - n \int_{0}^{2} x^{n - 1} e^{x} d x = 2^{n} e^{2} - n \int_{0}^{2} x^{n - 1} e^{x} d x

である。したがって

I_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n !} (2^{n} e^{2} - n \int_{0}^{2} x^{n - 1} e^{x} d x) = \frac{( - 1 ) ^{n} 2 ^{n} e ^{2}}{n !} + \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} \int_{0}^{2} x^{n - 1} e^{x} d x = I_{n - 1} + \frac{( - 1 ) ^{n} 2 ^{n} e ^{2}}{n !} .

よって $I_{n} = I_{n - 1} + \frac{( - 1 ) ^{n} 2 ^{n} e ^{2}}{n !} (n = 1, 2, \dots)$ である。

これを用いると $I_{1} = I_{0} - 2 e^{2} = - (e^{2} + 1),$ $I_{2} = I_{1} + \frac{4 e ^{2}}{2} = e^{2} - 1,$ $I_{3} = I_{2} - \frac{8 e ^{2}}{6} = - 1 - \frac{e ^{2}}{3}$ である。

(2)

$0 ≦ x ≦ 2$ では $e^{x} ≦ e^{2}$ だから、 $n ≧ 1$ に対して

\frac{1}{n !} \int_{0}^{2} x^{n} e^{x} d x ≦ \frac{e ^{2}}{n !} \int_{0}^{2} x^{n} d x = \frac{e ^{2}}{n !} \cdot \frac{2 ^{n + 1}}{n + 1} = \frac{2 ^{n + 1} e ^{2}}{( n + 1 ) n !}

である。

ここで $(n + 1) n! ≧ 2 \cdot 3^{n - 1} (n ≧ 1)$ を示す。 $n = 1$ では両辺とも2で成り立つ。 $(n + 1) n!$ から $(n + 2) (n + 1)!$ への倍率は $n + 2$ であり、 $n ≧ 1$ なら $n + 2 ≧ 3$ である。したがって右辺の倍率3以上で増えるので、すべての $n ≧ 1$ で上の不等式が成り立つ。

よって

\frac{2 ^{n + 1} e ^{2}}{( n + 1 ) n !} ≦ \frac{2 ^{n + 1} e ^{2}}{2 \cdot 3 ^{n - 1}} = 2 e^{2} (\frac{2}{3})^{n - 1}

である。以上より $\frac{1}{n !} \int_{0}^{2} x^{n} e^{x} d x ≦ 2 e^{2} (\frac{2}{3})^{n - 1}$ が示された。

(3)

(1)の漸化式を $1$ から $n$ まで足し合わせると $I_{n} = I_{0} + e^{2} \sum_{k = 1}^{n} \frac{( - 1 ) ^{k} 2 ^{k}}{k !}$ である。 $I_{0} = e^{2} - 1$ だから $I_{n} = e^{2} \sum_{k = 0}^{n} \frac{( - 1 ) ^{k} 2 ^{k}}{k !} - 1$ となる。

一方、 $I_{n}$ の絶対値は $∣ I_{n} ∣ = \frac{1}{n !} \int_{0}^{2} x^{n} e^{x} d x$ である。(2)より $0 ≦ ∣ I_{n} ∣ ≦ 2 e^{2} (\frac{2}{3})^{n - 1}$ であり、右辺は $n \to \infty$ で0に近づく。したがって $lim_{n \to \infty} I_{n} = 0$ である。

ゆえに $0 = e^{2} lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{( - 1 ) ^{k} 2 ^{k}}{k !} - 1$ となるので、求める極限は $lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{( - 1 ) ^{k} 2 ^{k}}{k !} = \frac{1}{e ^{2}} = e^{- 2}$ である。

九州大学 2004年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 2004年度
理系数学第1問