九州大学 2004年度理系数学第2問解答・解説

問題

2次の正方行列 $A = (a b b a)$ に対して，次の問いに答えよ．ただし， $a$ ， $b$ は定数とする．

(1) $(a + b)^{4}$ ， $(a - b)^{4}$ を展開せよ．

(2) $A^{4}$ を $(a + b)^{4}$ ， $(a - b)^{4}$ を用いて表せ．

(3) 自然数 $n$ に対して， $A^{n}$ を求めよ．

(4) $0 < a < 1$ とし $b = 1 - a$ としたときの $A^{n}$ の $(1, 1)$ 成分を $x_{n}$ とする．極限 $n \to \infty lim x_{n}$ を求めよ．

出典：九州大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

この形の行列を掛けると、対角成分が等しく、非対角成分も等しい形が保たれる。そこで成分を $(x y y x)$ と見て、行和 $x + y$ と差 $x - y$ を調べると、それぞれ $(a + b)^{n}$ , $(a - b)^{n}$ になる。(2)はこの考えを4乗で確認し、(3)は帰納法で一般の $n$ に広げる。(4)では $b = 1 - a$ から $a + b = 1$ , $a - b = 2 a - 1$ となり、 $∣2 a - 1∣ < 1$ を使って極限を出す。

解答

(1)

二項展開により $(a + b)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$ であり、 $(a - b)^{4} = a^{4} - 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} - 4 a b^{3} + b^{4}$ である。

(2)

$A$ と同じ形の行列どうしを掛けると、再び

(x y y x)

の形になる。 $A^{4}$ を

A^{4} = (X Y Y X)

とおく。

この行列の各行の和は $X + Y$ である。一方、 $A$ の各行の和は $a + b$ なので、4回掛けると行和は $X + Y = (a + b)^{4}$ となる。また、1行目の成分の差は $X - Y$ であり、 $A$ ではその差が $a - b$ なので、同様に $X - Y = (a - b)^{4}$ となる。

したがって $X = \frac{( a + b ) ^{4} + ( a - b ) ^{4}}{2}, Y = \frac{( a + b ) ^{4} - ( a - b ) ^{4}}{2}$ である。よって

A^{4} = \frac{1}{2} ((a + b)^{4} + (a - b)^{4} (a + b)^{4} - (a - b)^{4} (a + b)^{4} - (a - b)^{4} (a + b)^{4} + (a - b)^{4})

である。

(3)

自然数 $n$ に対して

A^{n} = \frac{1}{2} ((a + b)^{n} + (a - b)^{n} (a + b)^{n} - (a - b)^{n} (a + b)^{n} - (a - b)^{n} (a + b)^{n} + (a - b)^{n})

であることを示す。 $n = 1$ のとき、右辺は

\frac{1}{2} ((a + b) + (a - b) (a + b) - (a - b) (a + b) - (a - b) (a + b) + (a - b)) = (a b b a) = A

となり成り立つ。

ある $n$ で成り立つとする。右辺の対角成分を $X$ 、非対角成分を $Y$ とすれば $X + Y = (a + b)^{n}, X - Y = (a - b)^{n}$ である。これに $A$ を右から掛けた $A^{n + 1}$ の対角成分を $X^{'}$ 、非対角成分を $Y^{'}$ とすると $X^{'} = a X + bY, Y^{'} = b X + aY$ である。よって $X^{'} + Y^{'} = (a + b) (X + Y) = (a + b)^{n + 1}$ かつ $X^{'} - Y^{'} = (a - b) (X - Y) = (a - b)^{n + 1}$ である。したがって

X^{'} = \frac{( a + b ) ^{n + 1} + ( a - b ) ^{n + 1}}{2}, Y^{'} = \frac{( a + b ) ^{n + 1} - ( a - b ) ^{n + 1}}{2}

となり、 $n + 1$ でも同じ形が成り立つ。以上より公式が示された。

(4)

$b = 1 - a$ であるから $a + b = 1, a - b = 2 a - 1$ である。(3)より、 $A^{n}$ の $(1, 1)$ 成分は $x_{n} = \frac{1 ^{n} + ( 2 a - 1 ) ^{n}}{2} = \frac{1 + ( 2 a - 1 ) ^{n}}{2}$ である。 $0 < a < 1$ より $- 1 < 2 a - 1 < 1$ であるから $lim_{n \to \infty} (2 a - 1)^{n} = 0$ である。したがって $lim_{n \to \infty} x_{n} = \frac{1}{2}$ である。

別解。 $K = (0110)$ とおくと $K^{2} = I$ であり、 $A = a I + b K$ と書ける。二項定理を用いれば $A^{n} = (a I + b K)^{n} = \sum_{j = 0}^{n}_{n} C_{j} a^{n - j} b^{j} K^{j}$ である。 $j$ が偶数なら $K^{j} = I$ 、奇数なら $K^{j} = K$ なので、単位行列の係数と $K$ の係数はそれぞれ $\frac{( a + b ) ^{n} + ( a - b ) ^{n}}{2}, \frac{( a + b ) ^{n} - ( a - b ) ^{n}}{2}$ となり、(3)と同じ公式を得る。

九州大学 2004年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 2004年度
理系数学第2問