問題
座標平面上を動く点の時刻における座標がで与えられているとし，この点の軌跡をとする．
(1) が原点を通るときの速度ベクトルを求めよ．
(2) が軸，軸に関して対称であることを示せ．
(3) の概形を描け．
(4) が囲む図形の面積を求めよ．
出典：九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
媒介変数を直接扱う部分と、軌跡の方程式に消去する部分を分ける。(1)は を微分し、原点を通る を代入する。(2)以降は とおくと , となるので、 を得る。この式から両軸対称性、概形、面積を読み取る。面積は上半分と下半分、および左右対称性を使い、 に帰着する。
解答
(1)
点 が原点を通るには が同時に成り立てばよい。 で調べると、 の2つである。実際、これらの値では がそれぞれ となり、 がそれぞれ となる。
速度ベクトルは
である。したがって である。
(2)
とおく。このとき であり、また である。したがって であるから、両辺を2乗して を得る。
この方程式は を に変えても、また を に変えても変わらない。よって軌跡 は 軸に関して対称であり、また 軸に関しても対称である。
(3)
(2)より軌跡は で表される。すなわち である。
この式から、 で となる。さらに右側 では原点と を結ぶ上下対称のふくらみを作り、左側 でも と原点を結ぶ同じ形のふくらみを作る。したがって概形は、原点で接する左右2つの閉じたふくらみをもち、全体として 軸・ 軸の両方に関して対称な曲線である。
(4)
対称性より、全体の面積は右上部分の4倍である。右上部分では かつ であるから、求める面積 は である。
ここで とおくと であり、 である。したがって である。