問題
赤玉2球，白玉8球が入った袋がある．この袋から玉を同時に2球取りだし，赤玉は手元に置き，白玉は袋に返すという試行を繰り返す．回の試行の後，袋に赤玉が2球残っている確率を，1球残っている確率をとおく．
(1) ，を求めよ．
(2) を求めよ．
(3) ，を，を用いて表せ．ただし，とする．
方針
状態を「赤玉が2球残っている」「赤玉が1球残っている」に分ける。白玉は袋に戻り、赤玉だけが減るので、赤玉が2球残っている状態では袋の中は赤2・白8、赤玉が1球残っている状態では赤1・白8である。(1)は1回目の取り出しを直接数える。(2)は1回目後の状態で場合分けする。(3)は同じ考えで、からへ、からへ移る確率を整理する。
解答
(1) 1回目の後に赤玉が2球残っているのは、白玉を2球取り出した場合である。したがって である。
1回目の後に赤玉が1球残っているのは、赤玉1球と白玉1球を取り出した場合である。よって
である。
(2) 2回目の後に赤玉が1球残っている場合を、1回目後の状態で分ける。
1回目後に赤玉が2球残っている確率はである。この状態から赤玉が1球残るには、次に赤玉1球と白玉1球を取り出せばよい。その確率は
である。
1回目後に赤玉が1球残っている確率はである。この状態から赤玉が1球残ったままであるには、次に白玉を2球取り出せばよい。袋の中は赤1球、白8球、合計9球なので、その確率は である。したがって
である。
(3) とする。赤玉が2球残っている状態が続くには、直前も赤玉が2球残っていて、今回も白玉2球を取り出す必要がある。よって である。
赤玉が1球残っている状態になるには、次の2通りがある。直前に赤玉が2球残っていて今回赤玉1球と白玉1球を取り出す場合、または直前に赤玉が1球残っていて今回白玉2球を取り出す場合である。したがって である。