問題
2定点，と円の周上を動く点がある．
(1) 3点，，が同一直線上にあるとき，と異なる点の座標を求めよ．
(2) 3点，，が同一直線上にないとき，の重心の軌跡を求めよ．
(3) 3点，，が同一直線上にないとき，の面積の最大値を求めよ．
出典：九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
円上の点をとして、(1)は直線と円の交点を直接求める。(2)は重心をの座標で表し、円の方程式へ代入して軌跡を移す。ただしが同一直線上になる2点は三角形が退化するので除く。(3)は面積をと見て、点から直線までの距離が最大になる位置を、円の中心から直線までの距離と半径の和で決める。
解答
(1) 直線は, を通るので である。これを円 に代入すると である。整理して となるから である。のときは点である。したがって、と異なる点は である。
(2) 重心をとする。とすると である。したがって である。これを円の方程式へ代入すると となる。よって である。
ただし、が同一直線上にあるときは三角形にならない。(1)よりそのようなはとであり、それぞれに対応する重心は である。したがって軌跡は で表される円から、上の2点を除いたものである。
(3) 三角形の面積をとすると である。直線の方程式は であり、円の中心からこの直線までの距離は である。円の半径は2なので、円上の点から直線までの距離の最大値は である。
また だから、面積の最大値は である。