問題
関数 について，次の各問に答えよ．
(1) の値がからまで変化するとき，関数の平均変化率を求めよ．ただし，とする．
(2) のにおける微分係数を定義にしたがって求めよ．
(3) (1)の平均変化率と，(2)のが一致するとき，を，を用いて表せ．
(4) とする．このとき，放物線上の2点，における接線と放物線で囲まれる図形の面積を求めよ．ただし，とする．
出典：九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(1)から(3)は定義どおりに差商を計算する。2次関数では、区間の平均変化率が中点での微分係数と一致することが出る。(4)はの2点における接線を求め、2接線の交点がにあることを使って、放物線と各接線の差を左右に分けて積分する。最後の式はだけに依存するので、途中で, の形にすると計算が見やすい。
解答
(1) 平均変化率は である。ここで だから である。
(2) 定義にしたがって を計算する。
であるから である。よって である。
(3) (1)と(2)が一致するので である。より である。
(4) 放物線の, における接線はそれぞれ である。この2直線の交点の座標を求めると より である。
放物線とでの接線との差は であり、放物線とでの接線との差は である。したがって求める面積をとすると である。とおくと、2つの積分はどちらも に等しい。よって
である。
別解。(4)は平行移動で, の場合に直してもよい。放物線は上下方向の平行移動を除いて同じ形で、2接線の交点は中央に来る。片側の面積はであるから、全体はやはりとなる。