問題
において，点をである点とする．
また，2点，を
である点とする．
(1) 点がの内部にあるとき，の満たすべき条件を求めよ．ただし，の内部とは，で囲まれる部分からその周を除いた部分をさす．
(2) との面積をそれぞれ，とするとき，を，を用いて表せ．
(3) 3点，，が同一直線上にあるとき，を，を用いて表せ．
(4) であって，3点，，が同一直線上にあるとき，の最小値を求めよ．
出典：九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問(a)
方針
を基底として係数を読む。点が三角形の内部にある条件は、に関する重心座標がすべて正であること。(2)は辺方向の拡大率がなので面積比がになる。(3)では点が直線上にある条件を、を結ぶ内分表示で係数比較し、を得る。(4)はを代入してに直し、の最小を決める。
解答
, とおく。
(1) である。三角形内の点は と表したとき を満たす。ここではなので である。したがって である。
(2) はそれぞれ方向に倍の位置にある。したがって、三角形の面積は三角形の面積の倍である。よって である。
(3) 直線上の点は、ある実数を用いて と表せる。これがに等しいとすると である。よって となり である。
(4) であるから、(3)より である。したがって である。とおくとである。一方 なので である。より すなわち である。
等号はのときで、条件と合わせるとで実現する。したがって の最小値は である。