問題
複素数平面において，点に関する次の条件を考える．
「原点と異なる点を中心として点を角だけ回転すると，移った点の絶対値がの絶対値のになる」
(1) ，のとき，上の条件を満たす点の全体はどんな図形となるか．
(2) を一組固定したとき，上の条件を満たす点の全体はどんな図形となるか．
(3) 点が実軸上にあるとき，(2)の図形が虚軸に接するのはが何度のときか．ただし，とする．
出典：九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第4問(b)
方針
回転後の点を複素数で表す。点を中心のまわりに角だけ回転した点はである。条件を、に関する円の方程式に直す。(3)ではが実数のとき、円が虚軸に接する条件が「中心の実部の絶対値＝半径」であることを使う。
解答
(1) , である。点を点のまわりに回転した点をとすると である。整理すると である。条件はだから である。したがって、条件を満たす点の全体は の円である。
(2) とおく。点を点のまわりにだけ回転した点は である。条件は である。なので、両辺にを掛けても絶対値は変わらず である。ここで だから である。したがって軌跡は で表される円である。中心は 半径は である。
(3) が0でない実数であるとする。このとき円の中心の実部は であり、半径はである。円が虚軸に接するための条件は、中心から虚軸までの距離が半径に等しいことであるから である。ではなので すなわち である。よって である。