問題
，どちらの袋にも，赤球と白球が1個ずつ入っているとして，次の操作を行う．2つの袋から無作為に1個ずつ取り出し，同じ色なら2つともの袋に入れ，異なる色なら2つともの袋に入れる．この操作をどちらかの袋の球がなくなるまで続けるとする．を自然数とし，回までこの操作が続いた後，の袋に4個の球が入っている確率を，赤，白の球が1個ずつ入っている確率を，同じ色の球2個が入っている確率を，球が入っていない確率をとする．次の問に答えよ．
(1) ，，，を求めよ．
(2) のとき，，，，を，を用いて表せ．
(3) ，，，を求めよ．
方針
偶数回の操作後だけを見て、A袋の状態を「4個」「赤白1個ずつ」「同色2個」「0個」の4種類に分ける。まず2回操作後を直接数えて初期値を出す。次に、赤白1個ずつの状態と同色2個の状態から2回操作した後の遷移確率を表にし、 を先に解く。最後に を和で求め、 は全確率が1であることから出す。
解答
(1)
最初はA袋、B袋のどちらにも赤球と白球が1個ずつ入っている。2回操作した後のA袋の状態を調べる。
1回目に同じ色を取り出す確率は であり、このとき2個ともA袋に入る。1回目に異なる色を取り出す確率も であり、このとき2個ともB袋に入る。これをさらに1回操作まで追うと、A袋の状態は に分かれ、それぞれの確率は
である。
(2)
2回分の遷移を調べる。A袋に赤白1個ずつ入っている状態から2回操作すると、(1)と同じ構造なので へ移る確率はそれぞれ である。
一方、A袋に同色2個が入っている状態を考える。例えばA袋に赤球2個、B袋に白球2個が入っている場合を考えれば十分である。次の1回では必ず異なる色を取り出すので、取り出した2個はB袋に入る。その後、A袋には赤球が1個だけ残り、B袋には赤球1個と白球2個が入っている。次の操作でB袋から赤球を選ぶ確率は 、白球を選ぶ確率は である。したがって同色2個の状態からは、同色2個の状態へ 、0個の状態へ の確率で移る。
4個の状態と0個の状態は、どちらかの袋が空なのでそのまま止まる。よって で である。
(3)
まず より である。
次に である。両辺に をかけて を得る。 だから、帰納的に であり である。
また
である。等比数列の和を計算して となる。
最後に4つの状態の確率の和は1であるから である。したがって である。