問題
次の問に答えよ．
(1) 行列はを満たすとする．行列で表される1次変換によって直線はそれ自身に移り，また直線もそれ自身に移るという．のとき，この2つの直線ととは直交することを証明せよ．
(2) 正の整数，，でを満たす組をすべて求めよ．
出典：九州大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1)は直線 上の方向ベクトル が、変換後も同じ直線方向にある条件を作る。 は同じ二次方程式の異なる2根になるので、解と係数の関係から傾きの積を出す。(2)は と に分け、 では底が同じなので指数 と を比較する。
解答
(1)
直線 がそれ自身に移るとは、方向ベクトル が、移った後も と平行であることを意味する。
行列 によって
は
に移る。これが と平行であるから である。整理すると となる。
同様に もこの二次方程式を満たす。 であり、 だから、 はこの二次方程式の2つの異なる解である。よって解と係数の関係より である。傾きの積が であるから、2直線 、 は直交する。
(2)
まず のときは となり、不等式は成り立たない。
以下 とする。このとき底 が同じなので、指数を比較すればよい。 であるから、条件は と同値である。 は正の整数なので、これは と同値である。 のとき、この条件は である。したがって で成り立つ。 のとき、 では で不適である。また なら であるから、 は成り立たない。
よって求める組は である。