問題
空間内に4点，，，をとる．ただし，とする．点と点，，とを結ぶ直線が平面と交わる点をそれぞれ，，とする．次の問に答えよ．
(1) 点，，の座標を，を用いて表せ．
(2) 三角形が正三角形となる点を求めよ．
(3) 点が3点，，を通る半円周
上を動くとき，2点，を結ぶ直線と平面との交点の軌跡を求めよ．
出典：九州大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
(1)は点 と各点を結ぶ直線を媒介変数で表し、 になる値を代入する。(2)は が常に長さ6の鉛直な辺になることを使い、正三角形の第3頂点の位置条件から を決める。(3)は半円上の点 を置き、 と 平面の交点を で表してから半円の式を消去する。
解答
(1)
直線 上の点は と表せる。 の 座標は なので、 となるためには より である。したがって である。
同様に である。また の 座標は なので、 となるのは より のときである。よって である。
(2)
は 上の線分であり、長さは である。その中点は である。
三角形 が正三角形になるには、 が の垂直二等分線上にあり、 からの距離が でなければならない。まず の 座標が と等しい必要があるので より である。このとき であり、 だから である。よって となる。したがって である。
(3)
半円上の点を とおく。このとき である。
直線 上の点は と表せる。 となるためには より である。したがって とおくと
である。
この2式と半円の式から を消去する。まず より である。また である。これを に代入して整理すると を得る。
さらに より、 の範囲は である。よって軌跡は で表される放物線の部分である。