九州大学 1995年度
理系数学 第4問

解答

(1)

点 $(t,f(t))$ における接線は $y=f(t)+f^{\prime }(t)(x-t)$ である。この直線が $y$ 軸と交わる点は $x=0$ を代入して $y=f(t)-t{f}^{\prime }(t)$ である。

問題文より、この値は $(t^2-1)f(t)$ に等しい。したがって $f(t)-t{f}^{\prime }(t)=(t^2-1)f(t)$ である。整理して $t{f}^{\prime }(t)=(2-t^2)f(t)$ を得る。変数名を $x$ に戻せば、求める微分方程式は $x{f}^{\prime }(x)=(2-x^2)f(x)$ である。

(2)

$x>0$ であるから、(1)の式を $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{2}{x}-x$ と見る。両辺を積分すると $\log f(x)=2\log x-\frac{x^2}{2}+C$ である。したがって $f(x)=C{x}^2{e}^{-x^2/2}$ と書ける。

条件 $f(1)=1$ より $1=C{e}^{-1/2}$ だから $C=e^{1/2}$ である。よって $f(x)=x^2{e}^{(1-x^2)/2}$ である。

(3)

(2)で求めた $f(x)$ は $x>0$ で正である。したがって $f^{\prime }(x)$ の符号は $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{2}{x}-x$ の符号と同じである。 $\frac{2}{x}-x=\frac{2-x^2}{x}$ であり、$x>0$ なので、$0<x<\sqrt{2}$ では正、$x>\sqrt{2}$ では負である。よって $f(x)$ は $x=\sqrt{2}$ で最大となる。

最大値は $f(\sqrt{2})=2e^{(1-2)/2}=2e^{-1/2}$ である。

別解。(3)は $u=x^2$ とおいてもよい。$u>0$ とすると $f(x)=u{e}^{(1-u)/2}$ である。これを $u$ で微分すると $\frac{d}{du}\{u{e}^{(1-u)/2}\}=e^{(1-u)/2}\left(1-\frac{u}{2}\right)$ であるから、最大は $u=2$、すなわち $x=\sqrt{2}$ のときで、最大値は $2e^{-1/2}$ である。