問題
だ円 の第1象限内の部分と，直線および軸で囲まれる部分をとし，の面積をで表す．また，の内部および周上の点のうち，とがともに整数であるものの総数をで表す．次の問に答えよ．
(1) ，を求めよ．
(2) 極限値を求めよ．
出典：九州大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
によって楕円を単位円に移す。すると直線は になり、領域は中心角 の扇形に対応するので面積が出る。格子点は楕円の 座標範囲から の3本だけを調べればよく、 での整数 の個数が主項になる。
解答
(1)
とおく。すると楕円 は に移る。また直線 は、 を代入して となる。
したがって対応する領域は、単位円の第1象限内で、 軸と角 をなす半径に挟まれた扇形である。この扇形の面積は である。変換 によって面積は 倍になるので である。
次に格子点を数える。楕円の第1象限内では であるから、整数 は だけである。 のときは、直線と 軸に挟まれるため のみである。 のときは楕円上で となるので、これも のみである。 のとき、直線上の高さも楕円上の高さも で一致する。したがって を満たす整数 の個数は である。
以上より である。
(2)
床関数の性質より
である。したがって であり、 で である。一方 なので
である。