問題
3つのタイプからなる合計10枚の同じ形状のカードがある．第1のタイプは3枚で両面が黒，第2のタイプは3枚で両面が白，第3のタイプは4枚で片面が白で他面が黒である．これらのカードの中から1枚を無作為に取り出すとき，次の問に答えよ．
(1) 上面が白であったとき，下面が黒である確率を求めよ．
(2) 下面のカードの色を言い当てるゲームをするとき，
(i) 上面と同じ色を答える
(ii) 上面と異なる色を答える
(iii) 上面の色と無関係に平等な確率で白または黒と答える
場合を考える．それぞれの場合に答が当たる確率を求めよ．
方針
カードを選び、どちらの面が上になるかまで考えると、20個の面が同じ確率で上面として現れる。(1)は上面が白である10面のうち、下面が黒になる4面を数える。(2)は「同じ色を答える」「異なる色を答える」を、それぞれ両面同色カードの面数、片面白片面黒カードの面数として数えればよい。(iii)は答えが上面の色と独立に白黒半々なので、下面の実際の色にかかわらず的中確率は である。
解答
(1)
1枚のカードを無作為に取り出し、さらにどちらの面が上になるかも同じ確率で起こると考える。すると、上面として現れる可能性のある面は全部で 面であり、どれも同じ確率である。
白い面は、両面白カード3枚から 面、片面白片面黒カード4枚から 面ある。したがって、上面が白である場合は合計 通りである。
このうち下面が黒であるのは、片面白片面黒カードで白面が上に出ている場合だけなので 通りである。よって求める確率は である。
(2)
(i)
上面と同じ色を答えて当たるのは、上面と下面が同じ色である場合である。これは両面黒カード3枚と両面白カード3枚の場合であり、面の数で数えると 通りである。全体は20通りなので、当たる確率は である。
(ii)
上面と異なる色を答えて当たるのは、上面と下面が異なる色である場合である。これは片面白片面黒カード4枚の場合で、上面としては 通りある。よって当たる確率は である。
(iii)
この方法では、上面の色やカードの種類に関係なく、白と黒をそれぞれ確率 で答える。下面の色が白であっても黒であっても、正しい色を答える確率は である。
したがって当たる確率は である。