九州大学 1994年度理系数学第1問解答・解説

問題

座標平面上の4点 $(0, 0)$ ， $(1, 0)$ ， $(1, 1)$ ， $(0, 1)$ からなる集合を $L$ ，不等式 $a x + b y - d ≧ 0$ を満たす実数 $x$ ， $y$ を座標としてもつ点 $(x, y)$ からなる集合を $D$ とする．すなわち

L = {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)},

D = {(x, y) ∣ a x + b y - d ≧ 0}

である．このとき， $L$ と $D$ の共通集合 $L \cap D$ について次の問に答えよ．

(1) 実数 $a$ ， $b$ ， $d$ をどのように選んでも， $L \cap D = {(0, 0), (1, 1)}$ にならないことを示せ．

(2) $L \cap D = {(1, 1)}$ ならば， $\frac{d}{2} ≦ a^{2} + b^{2} < 2 d$ であることを示せ．

出典：九州大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

半平面 $D$ に4頂点を代入し、含まれる点では不等式が $≧ 0$ 、含まれない点では $< 0$ になることを使う。(1)は対角の2点 $(0, 0)$ 、 $(1, 1)$ だけを含むと仮定し、 $d ≦ 0$ 、 $a < d$ 、 $b < d$ 、 $a + b ≧ d$ の矛盾を出す。(2)は $(1, 1)$ だけを含む条件から $d > 0$ 、 $a < d$ 、 $b < d$ 、 $a + b ≧ d$ を取り出し、下からは $d ≦ a + b$ 、上からは $x = d - a$ 、 $y = d - b$ による評価で $a^{2} + b^{2} < 2 d^{2}$ を示す。

解答

(1)

仮に $L \cap D = {(0, 0), (1, 1)}$ となったとする。 $(0, 0) \in D$ より $- d ≧ 0$ すなわち $d ≦ 0$ である。また $(1, 1) \in D$ より $a + b - d ≧ 0$ すなわち $a + b ≧ d$ である。

一方、 $(1, 0) \in / D$ 、 $(0, 1) \in / D$ であるから $a - d < 0, b - d < 0$ であり、 $a < d, b < d$ となる。よって $a + b < 2 d$ である。ところが $d ≦ 0$ なので $2 d ≦ d$ であり、したがって $a + b < d$ となる。これは $a + b ≧ d$ に反する。

よって、どのように $a, b, d$ を選んでも $L \cap D = {(0, 0), (1, 1)}$ とはならない。

(2)

$L \cap D = {(1, 1)}$ とする。まず $(0, 0) \in / D$ より $- d < 0$ だから $d > 0$ である。また $(1, 0) \in / D$ 、 $(0, 1) \in / D$ 、 $(1, 1) \in D$ より $a - d < 0, b - d < 0, a + b - d ≧ 0$ である。したがって $a < d, b < d, a + b ≧ d$ を得る。

まず下側の評価を示す。 $a + b ≧ d > 0$ であり、 $a + b ≦ 2 a^{2} + b^{2}$ だから $d ≦ 2 a^{2} + b^{2}$ である。よって $\frac{d}{2} ≦ a^{2} + b^{2}$ となる。

次に上側の評価を示す。 $x = d - a, y = d - b$ とおくと、 $a < d$ 、 $b < d$ より $x > 0, y > 0$ である。また $a + b ≧ d$ より $(d - x) + (d - y) ≧ d$ なので $x + y ≦ d$ である。

このとき $a^{2} + b^{2} = (d - x)^{2} + (d - y)^{2} = 2 d^{2} - 2 d (x + y) + x^{2} + y^{2} .$ さらに $x^{2} + y^{2} ≦ (x + y)^{2} ≦ d (x + y)$ であるから $a^{2} + b^{2} ≦ 2 d^{2} - d (x + y) .$ ここで $x + y > 0$ なので $a^{2} + b^{2} < 2 d^{2} .$ したがって $a^{2} + b^{2} < 2 d$ である。

以上より $\frac{d}{2} ≦ a^{2} + b^{2} < 2 d$ が示された。

九州大学 1994年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1994年度
理系数学第1問