九州大学 1994年度理系数学第4問解答・解説

問題

$m$ ， $n$ を正の整数とし， $a$ ， $b$ ， $c$ を実数とするとき，次の問に答えよ．

(1) 次の定積分の値を求めよ．

（ア） $\int_{0}^{π} sin m x sin n x d x$

（イ） $\int_{0}^{π} x sin m x d x$

(2) $I = \int_{0}^{π} (a sin x + b sin 2 x + c sin 3 x - x)^{2} d x$ とおく． $I$ を最小にするような $a$ ， $b$ ， $c$ の値と $I$ の最小値を求めよ．

出典：九州大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

(1)では積和公式と部分積分により、 $sin m x$ 同士の直交関係と $x sin m x$ の積分値を求める。(2)では $I$ を展開し、(1)の結果で交差項が消えることを使って、 $a, b, c$ についての平方完成にする。最小にする係数は $x$ を $sin x, sin 2 x, sin 3 x$ の組で近似する係数に一致し、最小値は $\int_{0}^{π} x^{2} d x$ から対応する3成分の寄与を引いて求める。

解答

(1)

（ア）

積和公式より $sin m x sin n x = \frac{1}{2} {cos (m - n) x - cos (m + n) x}$ である。 $m \neq = n$ のとき、 $m - n$ と $m + n$ はともに正の整数または負でない整数で、 $m - n \neq = 0$ であるから $\int_{0}^{π} cos (m - n) x d x = 0, \int_{0}^{π} cos (m + n) x d x = 0$ となる。したがって $\int_{0}^{π} sin m x sin n x d x = 0$ である。 $m = n$ のときは $sin^{2} m x = \frac{1 - c o s 2 m x}{2}$ より

\int_{0}^{π} sin^{2} m x d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 d x - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} cos 2 m x d x = \frac{π}{2} .

よって

\int_{0}^{π} sin m x sin n x d x = {\frac{π}{2}, 0, m = n, m \neq = n

である。

（イ）

部分積分により

\int_{0}^{π} x sin m x d x = [- \frac{x cos m x}{m}]_{0}^{π} + \frac{1}{m} \int_{0}^{π} cos m x d x .

第2項は $\frac{1}{m} [\frac{s i n m x}{m}]_{0}^{π} = 0$ である。したがって

\int_{0}^{π} x sin m x d x = - \frac{π cos mπ}{m} = \frac{( - 1 ) ^{m + 1} π}{m} .

(2)

$I = \int_{0}^{π} (a sin x + b sin 2 x + c sin 3 x - x)^{2} d x$ を展開する。(1)より異なる $sin m x$ 同士の積分は0であり、また $\int_{0}^{π} sin^{2} m x d x = \frac{π}{2}$ である。さらに

\int_{0}^{π} x sin x d x = π, \int_{0}^{π} x sin 2 x d x = - \frac{π}{2}, \int_{0}^{π} x sin 3 x d x = \frac{π}{3}

である。

したがって

I = \frac{π}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 2 (aπ + b (- \frac{π}{2}) + c \frac{π}{3}) + \int_{0}^{π} x^{2} d x .

また $\int_{0}^{π} x^{2} d x = \frac{π ^{3}}{3}$ であるから

I = \frac{π}{2} a^{2} - 2 π a + \frac{π}{2} b^{2} + π b + \frac{π}{2} c^{2} - \frac{2 π}{3} c + \frac{π ^{3}}{3} .

これを平方完成すると $\frac{π}{2} a^{2} - 2 π a = \frac{π}{2} (a - 2)^{2} - 2 π,$ $\frac{π}{2} b^{2} + π b = \frac{π}{2} (b + 1)^{2} - \frac{π}{2},$

\frac{π}{2} c^{2} - \frac{2 π}{3} c = \frac{π}{2} (c - \frac{2}{3})^{2} - \frac{2 π}{9} .

よって

I = \frac{π}{2} (a - 2)^{2} + \frac{π}{2} (b + 1)^{2} + \frac{π}{2} (c - \frac{2}{3})^{2} + \frac{π ^{3}}{3} - 2 π - \frac{π}{2} - \frac{2 π}{9} .

したがって $I$ を最小にするのは $a = 2, b = - 1, c = \frac{2}{3}$ のときである。

最小値は

\frac{π ^{3}}{3} - 2 π - \frac{π}{2} - \frac{2 π}{9} = \frac{π ^{3}}{3} - \frac{49 π}{18} = \frac{π ( 6 π ^{2} - 49 )}{18}

である。

九州大学 1994年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

（ア）

（イ）

(2)

九州大学 1994年度
理系数学第4問