九州大学 1994年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y$ 座標平面で点 $P$ は点 $A (1, 0)$ を始点として，原点 $O$ を中心とする半径1の円周上を正の向きに一定の速さで回転する．点 $Q$ は動径 $O P$ 上を原点 $O$ から出発して一定の速さで $P$ に向かって進み，点 $P$ が円を1周して点 $A$ に戻ってきた時にちょうど点 $P$ に到達するとする．このときの点 $Q$ の軌跡を $C$ ， $∠ P O A = θ$ ，そして $C$ と線分 $O Q$ とで囲まれる領域の面積を $S (θ)$ とする．次の問に答えよ．

(1) $Q$ の座標を $θ$ を用いて表せ．

(2) 上の座標を $Q (θ)$ とする．点 $Q (π)$ における $C$ の接線と $y$ 軸との交点の座標を求めよ．

(3) $0 ≦ θ_{1} < θ_{2} ≦ 2 π$ のとき

\frac{1}{2} (\frac{θ _{1}}{2 π})^{2} < \frac{S ( θ _{2} ) - S ( θ _{1} )}{θ _{2} - θ _{1}} < \frac{1}{2} (\frac{θ _{2}}{2 π})^{2}

を示せ．

(4) $\frac{d S ( θ )}{d θ}$ および $S (θ)$ を求めよ．

出典：九州大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

点 $P$ の角度が $θ$ のとき、 $Q$ は動径上を同じ割合で進んでいるので、極座標で $r = θ / (2 π)$ と表せる。(2)は媒介変数表示を微分し、 $θ = π$ における接線の傾きを求める。(3)は曲線 $C$ と線分 $O Q$ で囲まれる面積の増分が、極座標の微小扇形 $\frac{1}{2} r^{2} d θ$ の積分になることを使う。被積分関数が増加関数であるため、平均変化率は両端の値の間に挟まれる。(4)は(3)から導関数を読み取り、 $S (0) = 0$ を用いて積分する。

解答

(1)

点 $P$ が円を1周する間に、点 $Q$ は原点から半径1の円周まで一定の速さで進む。角 $θ$ の時点では、全体の回転角 $2 π$ のうち $θ$ だけ進んでいるので $O Q = \frac{θ}{2 π}$ である。

また、 $Q$ は動径 $O P$ 上にあるから、極座標で $r = \frac{θ}{2 π}$ と表される。したがって座標は

Q (θ) = (\frac{θ}{2 π} cos θ, \frac{θ}{2 π} sin θ)

である。

(2)

x = \frac{θ}{2 π} cos θ, y = \frac{θ}{2 π} sin θ

とおく。微分すると

\frac{d x}{d θ} = \frac{1}{2 π} cos θ - \frac{θ}{2 π} sin θ,

\frac{d y}{d θ} = \frac{1}{2 π} sin θ + \frac{θ}{2 π} cos θ .

$θ = π$ では $Q (π) = (- \frac{1}{2}, 0)$ であり、

\frac{d x}{d θ}_{θ = π} = - \frac{1}{2 π}, \frac{d y}{d θ}_{θ = π} = - \frac{1}{2} .

したがって接線の傾きは $\frac{d y}{d x} = \frac{- 1/2}{- 1/ ( 2 π )} = π$ である。

よって接線は $y = π (x + \frac{1}{2})$ である。 $y$ 軸との交点は $x = 0$ として $y = \frac{π}{2}$ だから $(0, \frac{π}{2})$ である。

(3)

極座標で $r = θ / (2 π)$ である。角度が $θ_{1}$ から $θ_{2}$ まで増える間に増える面積は、微小な扇形の面積を足し合わせて

S (θ_{2}) - S (θ_{1}) = \frac{1}{2} \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} (\frac{θ}{2 π})^{2} d θ

である。

ここで $g (θ) = \frac{1}{2} (\frac{θ}{2 π})^{2}$ とおくと、 $0 ≦ θ ≦ 2 π$ で $g (θ)$ は増加関数である。 $θ_{1} < θ < θ_{2}$ では $g (θ_{1}) < g (θ) < g (θ_{2})$ であるから、区間で積分して

g (θ_{1}) (θ_{2} - θ_{1}) < \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} g (θ) d θ < g (θ_{2}) (θ_{2} - θ_{1})

となる。 $θ_{2} - θ_{1} > 0$ で割れば

\frac{1}{2} (\frac{θ _{1}}{2 π})^{2} < \frac{S ( θ _{2} ) - S ( θ _{1} )}{θ _{2} - θ _{1}} < \frac{1}{2} (\frac{θ _{2}}{2 π})^{2}

を得る。

(4)

(3)の不等式は、 $S (θ)$ の平均変化率が $\frac{1}{2} (\frac{θ}{2 π})^{2}$ に近づくことを表している。したがって

\frac{d S ( θ )}{d θ} = \frac{1}{2} (\frac{θ}{2 π})^{2} = \frac{θ ^{2}}{8 π ^{2}}

である。

また $S (0) = 0$ なので

S (θ) = \int_{0}^{θ} \frac{u ^{2}}{8 π ^{2}} d u = \frac{1}{8 π ^{2}} \cdot \frac{θ ^{3}}{3} = \frac{θ ^{3}}{24 π ^{2}} .

よって

\frac{d S ( θ )}{d θ} = \frac{θ ^{2}}{8 π ^{2}}, S (θ) = \frac{θ ^{3}}{24 π ^{2}}

である。

九州大学 1994年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 1994年度
理系数学第3問