九州大学 1992年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

2つのサイコロを同時に投げる試行を $n$ 回行う．2つのサイコロの出た目の和が $a$ 以下であるという事象を $A$ とし，事象 $A$ の起こる確率を $p$ とする．
$n$ 回の試行のうち，事象 $A$ の起こる回数を $X$ とし， $X = r$ となる確率を $q (r)$ とする．ただし， $a$ ， $r$ は整数で， $2 ≦ a ≦ 12$ とする．

(1) $X$ の期待値を $n$ ， $p$ で表せ．

(2) 整数 $a$ を用いて $p$ を表せ．

(3) 比 $\frac{q ( r + 1 )}{q ( r )}$ を $n$ ， $p$ ， $r$ で表せ．これを利用して， $q (r)$ が $r = r_{0}$ $(1 ≦ r_{0} ≦ n - 1)$ で最大となるためには $\frac{r _{0}}{n + 1} < p < \frac{r _{0} + 1}{n + 1}$ が成り立つことが必要十分であることを示せ．

(4) $n = 10$ のとき， $q (r)$ が $r = 7$ で最大となる整数 $a$ を求めよ．

出典：九州大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

各試行で事象 $A$ が起こるかどうかだけを見ると、 $X$ は成功確率 $p$ の二項分布である。(2)では2つのサイコロの和が $a$ 以下となる組数を、 $a ≦ 7$ と $a ≧ 7$ に分けて数える。(3)は $q (r + 1) / q (r)$ と1を比較し、確率列が増加から減少に変わる位置を調べる。(4)は $n = 10, r_{0} = 7$ の範囲に入る $p$ を持つ整数 $a$ を探す。

解答

(1)

1回の試行で事象 $A$ が起こる確率は $p$ である。 $n$ 回の試行は同じ条件で繰り返されるので、 $X$ は成功確率 $p$ 、試行回数 $n$ の二項分布に従う。したがって期待値は $E (X) = n p$ である。

(2)

2つのサイコロの出方は全部で36通りである。

まず $2 ≦ a ≦ 7$ のとき、和が $2, 3, \dots, a$ となる出方の数は $1 + 2 + \dots + (a - 1) = \frac{a ( a - 1 )}{2}$ である。よって $p = \frac{a ( a - 1 )}{72} (2 ≦ a ≦ 7)$ である。

次に $7 ≦ a ≦ 12$ のときは、和が $a + 1$ 以上となる出方を全体から引く。和が $a + 1, a + 2, \dots, 12$ となる出方の数は $1 + 2 + \dots + (12 - a) = \frac{( 12 - a ) ( 13 - a )}{2}$ である。したがって $p = 1 - \frac{( 12 - a ) ( 13 - a )}{72} (7 ≦ a ≦ 12)$ である。まとめると

p = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{a ( a - 1 )}{72}, 1 - \frac{( 12 - a ) ( 13 - a )}{72}, 2 ≦ a ≦ 7, 7 ≦ a ≦ 12.

$a = 7$ ではどちらの式でも同じ値になる。

(3)

$X$ は二項分布なので $q (r) =_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ である。したがって

\frac{q ( r + 1 )}{q ( r )} = \frac{_{n} C _{r + 1}}{_{n} C _{r}} \cdot \frac{p}{1 - p} = \frac{n - r}{r + 1} \cdot \frac{p}{1 - p}

である。 $q (r)$ が $r = r_{0}$ で最大となるためには、 $r_{0}$ までは増加し、その次では減少に転じればよい。すなわち $\frac{q ( r _{0} )}{q ( r _{0} - 1 )} > 1, \frac{q ( r _{0} + 1 )}{q ( r _{0} )} < 1$ が必要十分である。上の比を用いると、前者は $\frac{n - r _{0} + 1}{r _{0}} \cdot \frac{p}{1 - p} > 1$ であり、これは $(n + 1) p > r_{0}$ すなわち $p > \frac{r _{0}}{n + 1}$ と同値である。後者は $\frac{n - r _{0}}{r _{0} + 1} \cdot \frac{p}{1 - p} < 1$ であり、これは $(n + 1) p < r_{0} + 1$ すなわち $p < \frac{r _{0} + 1}{n + 1}$ と同値である。

よって $\frac{r _{0}}{n + 1} < p < \frac{r _{0} + 1}{n + 1}$ が必要十分である。

(4)

$n = 10$ 、 $r_{0} = 7$ とすると、(3)より必要十分条件は $\frac{7}{11} < p < \frac{8}{11}$ である。

(2)の式から順に調べる。 $a = 7$ では $p = \frac{7 \cdot 6}{72} = \frac{7}{12} < \frac{7}{11}$ であり小さい。 $a = 8$ では、和が8以下となる出方は $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 = 26$ 通りなので $p = \frac{26}{36} = \frac{13}{18}$ である。これは $\frac{7}{11} < \frac{13}{18} < \frac{8}{11}$ を満たす。 $a = 9$ では $p = \frac{30}{36} = \frac{5}{6} > \frac{8}{11}$ となり大きすぎる。したがって求める整数は $a = 8$ である。

九州大学 1992年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 1992年度
後期・理系数学後期第5問