九州大学 1992年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

2つの関数 $f (x) = sin x + 1$ ， $g (x) = cos x + 1$ がある．

(1) $f (x) - g (x)$ が正または0となる最大の区間 $[a, b]$ $(0 ≦ a < b ≦ 2 π)$ を求めよ．区間 $[a, b]$ における $f (x) - g (x)$ の最大値を求めよ．

(2) 曲線 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転してできた回転体の $x = a$ から $x = b$ までの部分の体積を求めよ．

出典：九州大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

まず $f (x) - g (x) = sin x - cos x$ の符号を調べ、 $[0, 2 π]$ の中で非負となる最大区間を決める。回転体の体積は、この区間では $f (x) ≧ g (x)$ であり両方とも0以上なので、外半径 $f (x)$ 、内半径 $g (x)$ の差として $π \int (f^{2} - g^{2}) d x$ を計算する。

解答

(1)

$f (x) - g (x) = sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})$ である。よって $0 ≦ x ≦ 2 π$ で $f (x) - g (x) ≧ 0$ となる最大の区間は $[\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}]$ である。

この区間で $sin (x - \frac{π}{4})$ が最大になるのは $x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ すなわち $x = \frac{3 π}{4}$ のときである。したがって最大値は $2$ である。

(2)

(1)の区間では $f (x) ≧ g (x)$ である。また $f (x) = 1 + sin x$ 、 $g (x) = 1 + cos x$ はともに0以上である。したがって求める体積は $V = π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} {f (x)^{2} - g (x)^{2}} d x$ である。

ここで

f (x)^{2} - g (x)^{2} = (f (x) - g (x)) (f (x) + g (x)) = (sin x - cos x) (sin x + cos x + 2) = sin^{2} x - cos^{2} x + 2 sin x - 2 cos x = - cos 2 x + 2 sin x - 2 cos x

である。よって

V = π \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} (- cos 2 x + 2 sin x - 2 cos x) d x = π [- \frac{1}{2} sin 2 x - 2 cos x - 2 sin x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{5 π}{4}} .

$sin 2 x$ の項は上下端で同じ値になるので差は0である。また

- 2 cos \frac{5 π}{4} - 2 sin \frac{5 π}{4} = 22, - 2 cos \frac{π}{4} - 2 sin \frac{π}{4} = - 22

だから $V = π (42) = 42 π$ である。

九州大学 1992年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

九州大学 1992年度
後期・理系数学後期第1問