九州大学 1992年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

1辺の長さが1である正三角形 $△ A B C$ において，辺 $A B$ 上に点 $P_{0}, P_{1}, \dots\dots, P_{n}, \dots\dots$ ，辺 $B C$ 上に点 $Q_{0}, Q_{1}, \dots\dots, Q_{n}, \dots\dots$ ，辺 $C A$ 上に点 $R_{0}, R_{1}, \dots\dots, R_{n}, \dots\dots$ が， $P_{0}$ は辺 $A B$ の中点， $P_{n} Q_{n}$ は辺 $B C$ に垂直， $Q_{n} R_{n}$ は辺 $C A$ に垂直， $R_{n} P_{n + 1}$ は辺 $A B$ に垂直 $(n = 0, 1, 2, \dots\dots)$ となるように配列されているとする．

(1) $A P_{n} = x_{n}$ とおく． $x_{n}$ と $x_{n + 1}$ の関係を求めよ．

(2) $x_{n}$ を求めよ．

(3) 三角形 $△ P_{n} B Q_{n}$ ， $△ Q_{n} C R_{n}$ ， $△ R_{n} A P_{n + 1}$ の面積の和を $S_{n}$ とする． $n \to \infty lim S_{n}$ を求めよ．

出典：九州大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

正三角形を座標平面に置き、 $P_{n} = (x_{n}, 0)$ から条件どおりに3本の垂線を引いて $P_{n + 1}$ を求める。これにより一次漸化式が得られるので、定数解 $\frac{1}{3}$ からの差を取って解く。面積和 $S_{n}$ は3つの三角形を座標で個別に求め、最後に $x_{n} \to \frac{1}{3}$ を代入する。

解答

(1)

正三角形を

A = (0, 0), B = (1, 0), C = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})

と置く。 $A P_{n} = x_{n}$ なので $P_{n} = (x_{n}, 0)$ である。

辺 $B C$ の傾きは $- 3$ だから、 $P_{n} Q_{n}$ の傾きは $\frac{1}{3}$ である。辺 $B C$ 上の点を $Q_{n} = (1 - \frac{u}{2}, \frac{3}{2} u)$ とおく。 $Q_{n}$ が $P_{n}$ を通り傾き $\frac{1}{3}$ の直線上にあることから $\frac{3}{2} u = \frac{1}{3} (1 - \frac{u}{2} - x_{n})$ である。これを整理して $u = \frac{1 - x _{n}}{2}$ を得る。したがって $Q_{n} = (\frac{3 + x _{n}}{4}, \frac{3 ( 1 - x _{n} )}{4})$ である。

次に $C A$ の傾きは $3$ なので、 $Q_{n} R_{n}$ の傾きは $- \frac{1}{3}$ である。 $R_{n}$ は $C A$ 上にあるから $R_{n} = (v, 3 v)$ とおける。 $Q_{n} R_{n}$ の傾きを用いると

3 v - \frac{3 ( 1 - x _{n} )}{4} = - \frac{1}{3} (v - \frac{3 + x _{n}}{4})

である。整理すると $v = \frac{3 - x _{n}}{8}$ となる。最後に $R_{n} P_{n + 1}$ は $A B$ に垂直、すなわち鉛直であるから $P_{n + 1} = (\frac{3 - x _{n}}{8}, 0)$ である。よって $x_{n + 1} = \frac{3}{8} - \frac{1}{8} x_{n}$ である。

(2)

(1)より $x_{n + 1} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{8} (x_{n} - \frac{1}{3})$ である。 $P_{0}$ は辺 $A B$ の中点なので $x_{0} = \frac{1}{2}$ である。したがって

x_{n} - \frac{1}{3} = (- \frac{1}{8})^{n} (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = \frac{1}{6} (- \frac{1}{8})^{n}

であり、 $x_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{8})^{n}$ である。

(3)

まず3つの三角形の面積を $x_{n}$ で表す。 $△ P_{n} B Q_{n}$ は底辺 $P B = 1 - x_{n}$ 、高さ $\frac{3 ( 1 - x _{n} )}{4}$ だから $[P_{n} B Q_{n}] = \frac{3}{8} (1 - x_{n})^{2}$ である。

また、座標計算により $[Q_{n} C R_{n}] = \frac{3}{32} (1 + x_{n})^{2}$ である。さらに

R_{n} = (\frac{3 - x _{n}}{8}, \frac{3 ( 3 - x _{n} )}{8}), P_{n + 1} = (\frac{3 - x _{n}}{8}, 0)

なので $[R_{n} A P_{n + 1}] = \frac{3}{128} (3 - x_{n})^{2}$ である。

したがって

S_{n} = \frac{3}{8} (1 - x_{n})^{2} + \frac{3}{32} (1 + x_{n})^{2} + \frac{3}{128} (3 - x_{n})^{2} = \frac{3}{128} (21 x_{n}^{2} - 30 x_{n} + 29) .

(2)より $x_{n} \to \frac{1}{3}$ であるから

n \to \infty lim S_{n} = \frac{3}{128} (21 \cdot \frac{1}{9} - 30 \cdot \frac{1}{3} + 29) = \frac{3}{128} (\frac{7}{3} + 19) = \frac{3}{6} .

九州大学 1992年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1992年度
後期・理系数学後期第2問