九州大学 1992年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

行列 $A (n) = (a_{n} b_{n} - b_{n} a_{n})$ $(n > 0)$ で表される1次変換によって，任意の平面ベクトル $x$ $(x \neq = 0)$ は，大きさが $∣ x ∣$ の $n$ 倍であるベクトルに移るとする．

(1) $a_{n}^{2} + b_{n}^{2}$ の値を $n$ で表し，逆行列 $A (n)^{- 1}$ を求めよ．

(2) $A (n) A (m) = A (m) A (n)$ を示せ．

(3) 任意のベクトル $x$ にたいし， $A (1)^{3} x = x$ を満たす行列 $A (1)$ をすべて求めよ．

(4) $A (2) (10) = 2 (11)$ のとき， $A (2)^{7} (10)$ および $(A (2)^{- 1})^{15} A (2)^{8} (10)$ を求めよ．

出典：九州大学 1992年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

行列 $A (n)$ は、すべてのベクトルの長さを $n$ 倍にする回転を伴う変換として扱える。(1)は $(1, 0), (0, 1)$ で長さを調べて $a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = n^{2}$ を得る。(2)は直接積を計算する。(3)は $A (1)$ が長さを変えない回転で、3回行うと元に戻る角を求める。(4)は $A (2)$ が長さを2倍、角を $\frac{π}{4}$ 回す変換であることを使う。

解答

(1)

A (n) (10) = (a_{n} b_{n})

であり、この長さは $n$ である。したがって $a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = n^{2}$ である。

行列式は $a_{n}^{2} + b_{n}^{2} = n^{2}$ なので、逆行列は

A (n)^{- 1} = \frac{1}{n ^{2}} (a_{n} - b_{n} b_{n} a_{n})

である。

(2)

直接計算すると

A (n) A (m) = (a_{n} a_{m} - b_{n} b_{m} a_{n} b_{m} + b_{n} a_{m} - (a_{n} b_{m} + b_{n} a_{m}) a_{n} a_{m} - b_{n} b_{m})

である。この右辺は $m, n$ を入れ替えても同じである。よって $A (n) A (m) = A (m) A (n)$ である。

(3)

$A (1)$ はすべてのベクトルの長さを変えない。したがって、ある角 $θ$ を用いて

A (1) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ)

と表せる。条件 $A (1)^{3} x = x$ が任意のベクトルで成り立つためには、3回の回転で元に戻ればよい。よって

3 θ = 0, 2 π, 4 π

を $0 ≦ θ < 2 π$ で考えればよい。

したがって

A (1) = (1001)

または

A (1) = (- \frac{1}{2} \frac{3}{2} - \frac{3}{2} - \frac{1}{2})

または

A (1) = (- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \frac{3}{2} - \frac{1}{2})

である。

(4)

条件

A (2) (10) = 2 (11)

より

(a_{2} b_{2}) = (22)

である。したがって $A (2)$ は長さを2倍にし、角を $\frac{π}{4}$ だけ回す変換である。

よって $A (2)^{7}$ は長さを $2^{7}$ 倍し、角を $\frac{7 π}{4}$ だけ回す。したがって

A (2)^{7} (10) = 128 (cos \frac{7 π}{4} sin \frac{7 π}{4}) = (642 - 642)

である。

また(2)より積の順序を入れ替えられるので $(A (2)^{- 1})^{15} A (2)^{8} = A (2)^{- 15} A (2)^{8} = A (2)^{- 7}$ である。これは長さを $2^{- 7}$ 倍し、角を $- \frac{7 π}{4}$ 、すなわち $\frac{π}{4}$ だけ回す変換である。よって

A (2)^{- 7} (10) = \frac{1}{128} (cos \frac{π}{4} sin \frac{π}{4}) = (\frac{2}{256} \frac{2}{256})

である。

九州大学 1992年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

九州大学 1992年度
後期・理系数学後期第3問