問題
を正数とし，関数をにおいて考える．
(1) においてを満たすの値は一意的に定まることを示せ．また，そのの値をとするとき，関数はで最小値をとることを示せ（以下，この最小値をで表す）．
(2) ，の導関数をそれぞれ，とするとき，，が成り立つことを示せ．
(3) が成り立つことをのグラフを利用して説明せよ．さらに，極限およびを計算せよ．必要なら，を用いてよい．
出典：九州大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
が で単調増加し、値が0から まで動くことをまず示す。 は と同値なので、そこで最小になる。 は定義式 の対数微分で符号を読む。最後の極限は に直し、 と を使う。
解答
(1)
とおく。 で である。したがって は で単調に増加する。また である。よって、正数 に対して を満たす はただ1つ存在する。この値を とする。
次に である。 は すなわち と同値であるから、 である。
さらに、 では なので 、すなわち である。 では同様に である。したがって は である。
(2)
の定義より である。両辺の対数をとると である。これを で微分すると である。ここで 、 だから である。
また である。これを微分すると である。ところが は を満たすので である。したがって である。
(3)
のとき である。 のグラフは で単調に増加し、右へ進むほど限りなく大きくなる。したがって水平線 との交点の横座標である は となる。
定義式 から である。 では だから、与えられた極限 を用いて である。よって である。
さらに なので である。したがって
各余分な項は0に近づくので である。