問題
，とする．
(1) のグラフの概形を描け．
(2) が区間内で極値として極大値のみを1つだけもつとき，の範囲を定めよ．
方針
まず であることを確認する。したがって， の極値の個数と種類は， のグラフと水平線 の交点の個数および符号変化で決まる。(1) では から増減を調べ，零点と極値を押さえて概形を描く。(2) では において，水平線 が最初の減少部分だけで交わる，または第2の山の頂点で接する場合だけが「極大値のみを1つ」に対応する。
解答
(1)
である。微分すると である。 なので， の符号は の符号で決まる。
したがって では， である。また である。
零点は から である。よって概形は， から減少して で 軸を横切り， で最小値 をとり，その後増加して で再び 軸を横切り， で最大値 をとり，その後減少しながら に近づく形である。
(2)
を微分すると である。したがって は と同値である。つまり， の極値は， のグラフと水平線 の交点で決まる。 で考える。 は で減少するので，この区間で水平線と交わると， は正から負へ変わり， は極大値をとる。
一方， は で増加する。ここで交わると， は負から正へ変わるので，極小値が生じてしまう。また で交わると，さらに極大値が生じる。
したがって，極大値のみを1つだけもつためには，水平線 が最初の減少部分では1回交わり， の増加部分では符号変化を伴う交点をもたないことが必要である。最初の減少部分で交わるためには が必要であるが，増加部分で通常の交点をもたないためには，その最大値 以上でなければならない。 のときは で接するだけで， の符号は変わらないので極値は増えない。
よって条件は である。したがって である。