問題
直線は，上の異なる個の点によって個の長さが有限な部分と2個の長さが有限でない部分に分かれる．平面上に本の直線が，どの2本も平行でなく，どの3本も1点で交わらないように与えられている．はこれらの直線によって個の大きさが有限な部分と何個かの大きさが有限でない部分に分かれるとする．このとき次の問に答えよ．
(1) ，を求めよ．
(2) との関係式を求めよ．
(3) をで表せ．
出典：九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
直線を1本追加したときに何が増えるかを見る。すでに 本ある平面に新しい直線を加えると，新しい直線は既存の直線と 個の交点をもち，その上に 個の有限な線分ができる。この有限な線分がそれぞれ一つずつ有限な部分を新しく作るので， となる。初期値から和を取って一般式を出す。
解答
(1)
4本の直線が一般の位置にあるとき，有限な部分は三角形状の部分が3個できる。したがって である。
5本目を加えると，その直線は既存の4本と4点で交わる。新しい直線上には長さが有限な部分が 個でき，それぞれが有限な部分を一つ増やす。したがって であり， である。
(2)
本の直線がある状態から，新しく1本の直線を加える。この新しい直線は，既存の 本の直線と互いに異なる 個の点で交わる。したがって，新しい直線は 個の長さが有限な部分と，2個の長さが有限でない部分に分けられる。
長さが有限な各部分は，それまでの平面の一つの部分を切って，新しい有限な部分を一つ作る。一方，両端の長さが有限でない部分は有限な部分を作らない。よって である。
(3)
である。(2) の関係式を繰り返し用いると である。したがって となる。よって である。