問題
3次関数は で極大値0をとり，で極小値をとるとする．次の問に答えよ．
(1) ，，，を求めよ．
(2) を軸の正の方向へ だけ平行移動した関数をとするとき，2つの曲線とで囲まれる部分の面積をで表せ．
出典：九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
で極大値 をとり，しかも なので， は の重解になる。したがって と置ける。導関数からもう一つの極値点が であることを求め，その値が である条件から を決める。(2) は とし，差 が二次式になることを利用する。交点が二つある範囲を判別式で調べ，二次式と 軸で囲まれる面積公式として積分する。
解答
(1)
が で極大値 をとるので である。 だから， は を解にもつ。さらに微分条件も合わせると， は重解になる。よって と書ける。
これを展開すると であるから である。また なので， 以外の極値点は である。
このとき
である。これが に等しいから であり， より を得る。したがって である。よって である。
(2)
(1) より である。 軸の正の方向へ だけ平行移動した関数は である。
二つの曲線の交点は で決まる。差を計算すると である。 なので，交点の個数は二次方程式 の実数解の個数で決まる。この判別式は である。したがって二つの交点をもち，囲まれる部分ができるのは のときである。 では接するだけで面積は ， では囲まれる部分はない。 とする。上の二次式の二つの解を とする。二次式は上に開くので， では である。二つの解の差は である。よって面積 は である。
ここで，二次式 に が掛かっていることを用いると である。したがって である。 とおくと だから
である。
したがって であり， では ， では囲まれる部分はない。