問題
数列を，，で定めるとき，次の問に答えよ．
(1) すべてのに対しておよびが成り立つことを示せ．
(2) の値を求めよ．またのときが成り立つことを示せ．
(3) とし，とおく．のとき，を示せ．
出典：九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
基本式 と を作る。(1) はこれらから と単調減少を帰納的に示す。(2) は を求め， では であることを使って分母 を上から押さえる。(3) は と の形が二乗評価に合わせて作られていることを使い，数学的帰納法で示す。
解答
(1)
まず
である。 であり， なら右辺は正なので である。よって帰納法により，すべての で が成り立つ。
次に
である。 より右辺は正なので である。したがって がすべての で成り立つ。
(2)
まず である。したがって
である。
(1) より数列は より大きく単調減少するので， では である。基本式 において だから である。よって が成り立つ。
(3)
まず のときを確認する。 なので である。一方， だから である。
次に，ある で が成り立つと仮定する。(2) より であるから である。ここで なので
である。したがって が成り立つ。数学的帰納法により が示された。