問題
1辺の長さの正方形の中心をとし，を通りこの正方形に垂直な直線上に頂点をもつ四角錐を考える．
(1) 半径1の球がこの四角錐に内接しているとき，高さをで表せ．
(2) (1)の四角錐の体積が最小となるの値とその最小値を求めよ．
出典：九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
四角錐の高さを ，側面三角形の斜高を と置く。内接球の半径 は，体積 と表面積 について と同じ意味なので， を使う。 と合わせて を解くと が出る。(2) は を の関数として微分し，定義域 で増減を調べる。
解答
(1)
四角錐の高さを とおく。また，側面三角形の斜高を とする。正方形の中心から一辺までの距離は なので である。
四角錐の体積は である。表面積は，底面積 と，4枚の側面三角形の面積の和で である。
内接球の半径が であるから，四角錐は底面と側面を底面にもつ高さ1の小さな三角錐に分けられ， となる。すなわち であり， である。 より となる。したがって である。
これを に代入すると である。両辺を4倍して整理すると より である。 なので を得る。この式が正になるために である。
(2)
(1) より体積は である。微分すると である。 では分母と は正なので， の符号は の符号で決まる。したがって である。よって体積は で最小となる。
そのとき
である。したがって である。