九州大学 1991年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$A$ ， $B$ の2人がそれぞれ10円硬貨を $n$ 回ずつ投げ， $A$ は $X$ 回目に， $B$ は $Y$ 回目に初めて表が出たとする．ただし， $n$ 回中に表が一度も出なければ， $X = n + 1$ または $Y = n + 1$ とおく． $X$ と $Y$ の大きいほうの数を $Z$ とする．

(1) 確率 $P (X ≦ k)$ ， $P (Y ≦ k)$ ， $P (Z ≦ k)$ $(k = 1, \dots\dots, n)$ を求めよ．

(2) 確率 $P (Z = k)$ $(k = 1, \dots, n + 1)$ を求めよ．

(3) $Z$ の期待値を求めよ．

出典：九州大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

$X ≦ k$ は最初の $k$ 回の中に少なくとも1回表が出ることなので，余事象で求める。 $Z ≦ k$ は $X ≦ k$ かつ $Y ≦ k$ と同値で，二人の試行は独立である。(2) は分布関数の差 $P (Z ≦ k) - P (Z ≦ k - 1)$ を使い， $k = n + 1$ だけは残りの確率として処理する。(3) は正の整数値をとる確率変数の公式 $E (Z) = \sum_{k = 0}^{n} P (Z > k)$ を使うと，等比数列の和に帰着する。

解答

(1)

$1 ≦ k ≦ n$ とする。 $X ≦ k$ は， $A$ が最初の $k$ 回のうち少なくとも1回表を出すことと同じである。その余事象は，最初の $k$ 回がすべて裏であることだから $P (X ≦ k) = 1 - (\frac{1}{2})^{k}$ である。同様に $P (Y ≦ k) = 1 - (\frac{1}{2})^{k}$ である。

また $Z$ は $X, Y$ の大きい方なので， $Z ≦ k$ は $X ≦ k かつ Y ≦ k$ と同値である。二人の結果は独立だから

P (Z ≦ k) = P (X ≦ k) P (Y ≦ k) = {1 - (\frac{1}{2})^{k}}^{2}

である。

(2)

まず $1 ≦ k ≦ n$ とする。このとき $P (Z = k) = P (Z ≦ k) - P (Z ≦ k - 1)$ である。したがって

P (Z = k) = (1 - \frac{1}{2 ^{k}})^{2} - (1 - \frac{1}{2 ^{k - 1}})^{2} (1 ≦ k ≦ n)

である。なお $k = 1$ のときは， $P (Z ≦ 0) = 0$ と見れば同じ式で扱える。

また $Z = n + 1$ は，少なくとも一方が $n$ 回中に一度も表を出さない場合である。したがって $P (Z = n + 1) = 1 - P (Z ≦ n) = 1 - (1 - \frac{1}{2 ^{n}})^{2}$ である。よって $P (Z = n + 1) = 1 - (1 - \frac{1}{2 ^{n}})^{2}$ である。

(3)

$Z$ は $1, 2, \dots, n + 1$ の値をとる正の整数値の確率変数であるから $E (Z) = \sum_{k = 0}^{n} P (Z > k)$ を用いる。 $k = 0, 1, \dots, n$ に対して $P (Z > k) = 1 - P (Z ≦ k)$ であり， $P (Z ≦ 0) = 0$ も $(1 - \frac{1}{2 ^{0}})^{2} = 0$ と見れば同じ式に含められる。よって $P (Z > k) = 1 - (1 - \frac{1}{2 ^{k}})^{2} = \frac{2}{2 ^{k}} - \frac{1}{4 ^{k}}$ である。したがって $E (Z) = \sum_{k = 0}^{n} (\frac{2}{2 ^{k}} - \frac{1}{4 ^{k}})$ となる。

等比数列の和を計算すると

k = 0 \sum n \frac{2}{2 ^{k}} = 4 (1 - \frac{1}{2 ^{n + 1}}) = 4 - \frac{1}{2 ^{n - 1}}

であり，

k = 0 \sum n \frac{1}{4 ^{k}} = \frac{4}{3} (1 - \frac{1}{4 ^{n + 1}}) = \frac{4}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4 ^{n}}

である。したがって $E (Z) = 4 - \frac{1}{2 ^{n - 1}} - \frac{4}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4 ^{n}}$ より $E (Z) = \frac{8}{3} - \frac{1}{2 ^{n - 1}} + \frac{1}{3 \cdot 4 ^{n}}$ である。

九州大学 1991年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1991年度
後期・理系数学後期第5問