問題
傾きが で原点を通る直線がある．平面上のすべての点を直線上の点に移す1次変換が行列 で表されているとする．
(1) ，，，との間の関係を求めよ．
(2) 行列の成分と成分を交換した行列をとする．この行列で表される1次変換によって原点に移される点の全体は，ある直線上にあることを示せ．また，この直線と直線のつくる角を求めよ．
出典：九州大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
平面上の任意の点を移した先が直線 上にあるので，特に標準的な二つの列ベクトル ， も直線 上にある。これにより ， が得られる。(2) は，交換後の行列 によって原点へ移る条件を連立方程式で書き， を使って という直線を得る。最後に傾きの積が であることから，直線 と直交すると分かる。
解答
(1)
行列 によって点 は に移る。この点が常に直線 上にあるので，すべての に対して が成り立つ。右辺を展開すると であり， の係数と の係数を比較して を得る。
(2)
(1) より
である。点 がこの行列 によって原点に移る条件は
である。すなわち である。仮定より ， なので が必要十分である。
したがって，原点に移る点 の全体は直線 上にある。この直線は と書けるので，その傾きは である。一方，直線 の傾きは である。二つの傾きの積は だから，二つの直線は直交する。よってこの直線と のつくる角は である。