九州大学 1991年度
後期・理系数学 後期 第3問

解答

(1)

曲線 $C$ を $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+7x+1$ とおくと，導関数は $y^{\prime }=x^2-5x+7$ である。直線 $A:y=x+a$ の傾きは $1$ なので，接点の $x$ 座標は $x^2-5x+7=1$ を満たす。すなわち $x^2-5x+6=0$ であるから $x=2,x=3$ である。

接点が直線 $y=x+a$ 上にあるとき，$a=y-x$ である。$x=2$ のとき $y=\frac{8}{3}-10+14+1=\frac{23}{3}$ だから $a=\frac{23}{3}-2=\frac{17}{3}$ である。$x=3$ のとき $y=9-\frac{45}{2}+21+1=\frac{17}{2}$ だから $a=\frac{17}{2}-3=\frac{11}{2}$ である。$\frac{11}{2}<\frac{17}{3}$ より $\boxed{a_1=\frac{11}{2},a_2=\frac{17}{3}}$ である。

(2)

交点の $x$ 座標は $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+7x+1=x+a$ を満たす。整理すると $\frac{1}{3}{x}^3-\frac{5}{2}{x}^2+6x+1-a=0$ である。両辺を $3$ 倍して $x^3-\frac{15}{2}{x}^2+18x+3(1-a)=0$ を得る。

この三つの解を $x_1,x_2,x_3$ とすると，解と係数の関係より $x_1+x_2+x_3=\frac{15}{2},$ $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=18,$ $x_1{x}_2{x}_3=3a-3$ である。ここで

を用いる。代入すると

である。したがって $x_1^3+x_2^3+x_3^3=\frac{3375}{8}-405+9a-9=9a+\frac{63}{8}$ を得る。よって $\boxed{x_1^3+x_2^3+x_3^3=9a+\frac{63}{8}}$ である。