九州大学 1991年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$f_{n} (θ) = cos n θ$ $(n = 0, 1, 2, \dots\dots)$ とおく．

(1) $f_{n + 2} (θ) + f_{n} (θ) = 2 f_{1} (θ) f_{n + 1} (θ)$ を示せ．

(2) $f_{n} (θ)$ $(n ≧ 1)$ は $cos θ$ の $n$ 次式であることを示せ．

(3) $x = cos θ$ とおくと， $f_{n} (θ)$ は $x$ の関数とみなせる．これを $F_{n} (x)$ と表す． $n ≧ 3$ のとき， $- 1 < x < 1$ の範囲で， $F_{n}^{'} (x) = 0$ は $n - 1$ 個の相異なる解をもつことを示せ．

出典：九州大学 1991年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1) は余弦の和積公式から直接示す。(2) は (1) の漸化式 $f_{n + 2} = 2 f_{1} f_{n + 1} - f_{n}$ を使い， $f_{n}$ が $cos θ$ の多項式であることを帰納法で示す。次数が本当に $n$ であることは，最高次の係数が消えないことを確認する。(3) は $x = cos θ$ ， $0 < θ < π$ と置き， $F_{n}^{'} (cos θ)$ を $θ$ での微分の比として求める。 $sin n θ = 0$ から $n - 1$ 個の $θ$ を得て， $cos θ$ の単調性で相異なる $x$ になることを示す。

解答

(1)

余弦の和積公式 $cos A + cos B = 2 cos \frac{A + B}{2} cos \frac{A - B}{2}$ を用いる。 $A = (n + 2) θ$ ， $B = n θ$ とすると $cos (n + 2) θ + cos n θ = 2 cos (n + 1) θ cos θ$ である。したがって $f_{n + 2} (θ) + f_{n} (θ) = 2 f_{1} (θ) f_{n + 1} (θ)$ が成り立つ。

(2)

$f_{0} (θ) = 1$ ， $f_{1} (θ) = cos θ$ であるから， $f_{0}$ ， $f_{1}$ はそれぞれ $cos θ$ の $0$ 次式， $1$ 次式である。

(1) より $f_{n + 2} (θ) = 2 cos θ f_{n + 1} (θ) - f_{n} (θ)$ である。いま $f_{n}$ が $cos θ$ の $n$ 次式， $f_{n + 1}$ が $cos θ$ の $n + 1$ 次式であると仮定する。このとき $2 cos θ f_{n + 1}$ は $n + 2$ 次式であり，そこから $n$ 次式 $f_{n}$ を引いても最高次の項は消えない。したがって $f_{n + 2}$ は $cos θ$ の $n + 2$ 次式である。

よって帰納法により， $n ≧ 1$ で $f_{n} (θ)$ は $cos θ$ の $n$ 次式である。

(3)

$- 1 < x < 1$ に対して，ただ一つの $θ$ が $0 < θ < π, x = cos θ$ を満たす。 $F_{n} (x) = cos n θ$ であるから， $x = cos θ$ において

F_{n}^{'} (cos θ) = \frac{d ( cos n θ ) / d θ}{d ( cos θ ) / d θ} = \frac{- n sin n θ}{- sin θ} = \frac{n sin n θ}{sin θ}

である。 $0 < θ < π$ では $sin θ > 0$ なので， $F_{n}^{'} (x) = 0$ は $sin n θ = 0$ と同値である。したがって $n θ = j π$ となり，範囲 $0 < θ < π$ から $θ = \frac{j π}{n} (j = 1, 2, \dots, n - 1)$ を得る。

このとき $x_{j} = cos \frac{j π}{n} (j = 1, 2, \dots, n - 1)$ である。 $cos θ$ は $0 < θ < π$ で単調に減少するので，これらの $x_{j}$ はすべて相異なる。よって $- 1 < x < 1$ の範囲で $F_{n}^{'} (x) = 0 は n - 1 個の相異なる解をもつ$ ことが示された。

九州大学 1991年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1991年度
後期・理系数学後期第2問