問題
曲線は第1象限内にあって，点を通り，その両端の点はそれぞれ軸および軸上にあるとする．両端を除く上の任意の点における法線が軸と交わる点をとするとき，線分は軸によって常に一定比 に内分されているという．
(1) 曲線の方程式を求めよ．
(2) 曲線と軸および軸で囲まれる図形が，軸のまわりに1回転してできる立体の体積をを用いて表せ．
(3) 体積を最小にするを求めよ．
出典：九州大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
点 とし，法線が 軸と交わる点を と置く。 軸が線分 を に内分する条件から を得る。そこから法線の傾きを求め，接線の傾きがその負の逆数であることから微分方程式を作る。積分して楕円 を得た後，回転体の体積を で積分し，最後に を微分して最小値を調べる。
解答
(1)
曲線上の点を とし，この点における法線が 軸と交わる点を とする。点 は第1象限にあるので である。線分 が 軸によって に内分されるから， から 軸までの縦の距離と， 軸から までの縦の距離の比は である。したがって である。
法線 の傾きは である。接線の傾きは法線の傾きと積が になるので である。よって であり，両辺を で積分すると となる。すなわち である。
曲線は点 を通るので より である。したがって曲線 の方程式は である。ただし第1象限内の弧を考える。
(2)
(1) より である。 軸との交点は であり， 軸との交点は第1象限にある。したがって，囲まれる図形を 軸のまわりに回転した体積は
である。計算すると であり， となる。よって である。
(3)
である。定数 を除き， を最小にすればよい。微分すると である。分子を整理すると
である。したがって であるから，，したがって は で最小となる。