九州大学 1986年度
理系数学 第6問

解答

(1)

区間 $[0,x]$ 上で曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸とに挟まれた部分の面積は ${\int }_0^{x}f(t)dt$ である。一方，長方形 $OQPR$ の横の長さは $x$，縦の長さは $f(x)$ なので，その面積は $xf(x)$ である。条件より ${\int }_0^{x}f(t)dt=\frac{1}{n}xf(x)$ が成り立つ。

両辺を $x$ で微分する。左辺は $f(x)$ であり，右辺は積の微分により $\frac{1}{n}\{f(x)+x{f}^{\prime }(x)\}$ である。したがって $f(x)=\frac{1}{n}\{f(x)+x{f}^{\prime }(x)\}$ である。両辺に $n$ を掛けて整理すると $(n-1)f(x)=x{f}^{\prime }(x)$ となる。これで (1) が示された。

(2)

$x>0$ で $f(x)>0$ であるから，(1) の式を $xf(x)$ で割ることができる。すると $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{n-1}{x}$ である。両辺を $x$ について積分すると $\log f(x)=(n-1)\log x+C_1$ となる。ここで $x>0$，$f(x)>0$ なので対数をそのまま扱える。

したがって，正の定数 $C$ を用いて $f(x)=C{x}^{n-1}$ と書ける。曲線が点 $(1,2)$ を通るので $2=f(1)=C\cdot 1^{n-1}=C$ である。よって $f(x)=2x^{n-1}(x>0)$ である。

別解。(1) の面積条件からすぐに $xf(x)=n{\int }_0^{x}f(t)dt$ と書いてもよい。この式は，右辺が $x$ の増加に伴って面積を表す関数であることを示している。両辺を微分すれば同じ微分方程式になり，あとは $x$ のべき乗になる関数を探す形で $f(x)=C{x}^{n-1}$ に到達する。