問題
1辺の長さが1cmの正四面体の辺，，上を，それぞれ点，，が毎秒1cm，2cm，4cmの速さで往復している．3点，，は同時に点を出発したとして，秒後の点，，について，次の(1)，(2)に答えよ．
(1) となるときのの値を求めよ．
(2) において，の最大値と最小値を求めよ．
方針
各点の からの距離は，辺の長さ1を往復する三角波になる。共通周期は2秒なので，まず で を調べる。(2) の区間 では，，， と明確に書ける。正四面体では から出る任意の2辺のなす角が なので，距離の二乗を余弦定理で表し，二次関数として最大最小を調べる。
解答
(1)
まず，各点の からの距離を考える。点 は速さ1で辺 上を往復するので， は周期2秒の三角波である。点 は速さ2なので周期1秒，点 は速さ4なので周期 秒である。したがって3点全体の状態は2秒ごとに繰り返す。よって で調べればよい。
この範囲を， が折り返す時刻に合わせて区切る。 では であるから，3つが等しいのは だけである。 では である。このとき は を与えるだけなので，この区間には解はない。 では である。 より であり，このとき なので，実際に3つは等しい。 では であり， からは となるが，これはこの区間に入らない。したがって解はない。 については， 秒後の状態と対称に考えられる。したがって に対応して も解であり，これ以外はない。
よって周期2秒を考えると，求める時刻は
である。
(2)
では，点 と はまだ から遠ざかっており，点 は に着いてから戻っている。したがって である。
正四面体では， のどの2辺のなす角も である。したがって， から同じ角 をなす2本の半直線上に，距離 の点があるとき，その2点間の距離の二乗は である。
よって
である。これらを足すと となる。
これは下に凸の二次関数であり，頂点は である。この値は に含まれる。したがって最小値は
である。
最大値は区間の端で調べればよい。端点では であり， である。したがって である。