問題
袋の中に赤球2個と白球3個が入っている．この袋から無作為に球を1個取り出し，取り出した球が赤球なら，白球ならと記録してから，球を袋に戻す．この試行を回くり返して得られる数列に対して，次の(1)，(2)に答えよ．
(1) 和が1である確率を求めよ．
(2) 符号の変化が2回以上起こる確率を求めよ．
出典：九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
(1) は和が1になる条件を の個数で表す。 が 回なら和は なので， が整数になる場合だけ確率を二項分布で書く。(2) は，符号変化が2回以上起こる確率を，変化0回と変化1回を全体から引いて求める。変化1回は，変化位置を1つ決めて等比数列の和にする。
解答
(1)
赤球を取り出したときの記録を ，白球の記録を と書く。各回の確率は である。 が 回， が 回出たとすると，得られる和は である。これが1に等しいためには でなければならない。
したがって， が偶数のとき は整数でないので である。 が奇数のときは， が 回出ればよい。よって
である。
(2)
符号変化が2回以上起こる確率は，全体から「符号変化が0回」と「符号変化が1回」を除いて求める。
符号変化が0回である確率は，すべて またはすべて なので である。
次に，符号変化が1回だけ起こる確率を求める。変化が 番目と 番目の間にあるとすると，列は または のどちらかである。したがってその確率は
である。等比数列の和を計算すると
となる。
よって
である。