問題
座標空間において，がの範囲を動くとき，2点，を結ぶ直線が動いてできる曲面をとする．このとき，と3つの座標平面で囲まれる立体の体積を求めよ．
出典：九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
を固定すると，線分 は 平面に平行な平面上にあり，3つの座標平面とともに直角三角形の断面を作る。その断面の 方向の長さは ， 方向の長さは である。したがって断面積を として， から まで積分する。
解答
を一つ固定する。このとき は同じ平面 一定上にある。求める立体をこの平面で切ると， 軸方向の長さが で， 軸方向の長さが である直角三角形になる。
したがって，この断面の面積は である。よって体積を とすると である。
これを分けて計算する。 であり，また とおくと
である。したがって
である。
別解。断面三角形の斜辺は線分 であり，座標平面 ， とともに囲む部分を考えると，断面は常に座標軸に沿う直角三角形である。したがって曲面そのものを式で表す必要はなく，動く線分が各 で切り取る三角形の面積だけを積分すればよい。