問題
，，を空間内の単位ベクトルとし，任意の単位ベクトルに対して，が一定の値をとるとする．ただし，はベクトル，の内積を表す．このとき，次の(1)，(2)に答えよ．
(1) を求めよ．
(2) のとき，の値を求めよ．
出典：九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1) は文系第2問と同じ発想で，互いに直交する3方向を に代入して和を取り， を求める。(2) ではまず を代入して， が互いに直交することを示す。すると との内積は係数だけを拾うので，求める平方和は になる。
解答
(1)
互いに直交する3つの単位ベクトルを とする。仮定より，これらを に代入したときの値はいずれも である。よって
である。したがって である。
(2)
(1) より，任意の単位ベクトル に対して である。
ここで とすると となる。したがって である。同様に とすると となり である。よって は互いに直交する。
いま であるから，直交性と より
である。同様に である。したがって
である。