問題
袋の中に赤球2個と白球3個が入っている．この袋から無作為に球を1個取り出し，取り出した球が赤球なら，白球ならと記録してから，球を袋に戻す．この試行を回くり返して得られる数列に対して，次の(1)，(2)に答えよ．
(1) 符号の変化が1回だけ起こる確率を求めよ．
(2) 符号の変化が2回以上起こる確率を求めよ．
出典：九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第5問
方針
各試行は独立で， の確率が ， の確率が である。符号変化が1回だけの列は，ある位置 まで同じ符号が続き，そこから最後まで反対符号が続く列に限られる。 から へ変わる場合と から へ変わる場合を足し，等比数列の和を整理する。(2) は全体から，変化0回と変化1回を除く。
解答
(1)
赤球を取り出したときの記録 を単に ，白球の記録 を と書く。各回の確率は である。
符号の変化が1回だけ起こるためには，ある について，初めの 個が同じ符号で，残りの 個が反対の符号でなければならない。したがって
である。
第一の和を計算する。
であるから
である。同様に第二の和は
である。これらを足して整理すると
となる。よって
である。
(2)
符号の変化が2回以上起こる事象は，「符号変化が0回」でも「符号変化が1回」でもない事象である。符号変化が0回である確率は，すべて またはすべて なので である。したがって
であり，(1) の結果を代入して
である。